江苏省泰兴、如皋四校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试题 Word版含解析.docxVIP

2021~2022学年高二年级第二学期期末考试

数学试卷

一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.二项式的展开式中的常数项是（）

A.第项 B.第项 C.第项 D.第项

【答案】C

【解析】

【分析】求出二项展开式的通项，令的指数为零，求得的值，进而可得出结果.

【详解】二项式的展开式通项为，

令，解得.

因此，二项式的展开式中的常数项是第项.

故选：C.

【点睛】本题考查二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于基础题.

2.在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.

【详解】由已知，

所以，，

故选：D.

3.设，分别为等比数列，的前项和．若（，为常数），则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，项和转换，求解即可

【详解】由题意，

设

则

故选：C

4.《周髀算经》中给出了：冬至?小寒?大寒?立春?雨水?惊蛰?春分?清明?谷雨?立夏?小满?芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地立春与立夏两个节气的日影长分别为尺和尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中至少有1个节气的日影长小于5尺的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，可知数列为等差数列，根据题意求得该数列的公差，确定数列中小于尺和小于尺的项，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】设这十二节气中第个节气的日影长为尺，

可知数列为等差数列，设其公差为，

由题意得，，，

.

令，解得；令，解得.

从该地日影长小于尺的节气中随机抽取个节气，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个，

其中，事件“所选取这个节气中至少有个节气的日影长小于尺”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共个，

因此，所求事件的概率为.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题的关键一是理解题意，二是求出小于尺的节气有哪些和小于尺的节气有哪些，三是确定基本事件总数和有利事件总数.

5.“莱洛三角形”是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.“莱洛三角形”在实际生活中有非常重要的用途，“转子发动机”的核心零部件为“曲侧面三棱柱”，而该“曲侧面三棱柱”的底面就是“莱洛三角形”.如图是一个底面为莱洛三角形的曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，高为5，且底面任意两顶点之间的距离为4，则其表面积为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出底面的每一段圆弧的长，从而可求出侧面积，再求出底面面积，从而得出答案.

【详解】由题意，

则三个侧面的面积之和为

如图阴影部分的面积为

所以底面积为

所以上下两个底面面积之和为

故表面积为

故选：B

6.（1）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记1号盒子中小球的个数为；（2）将个小球随机地投入编号为1，2…，的个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记号盒子中小球的个数为，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球次数为，

符合二项分布，可用二项分布相关公式求解.

【详解】问题转化为将一个小球投入到个盒子中，投次，投入1号盒子中小球的次数为，故

同理可得：

即

故选：A

【点睛】本题考查了二项分布及其期望方差的计算，考查了转化思想，属于中档题.

7.已知球O的半径为2，A，B，C为球面上的三个点，，点P在AB上运动，若OP与平面ABC所成角的最大值为，则O到平面ABC的距离为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】作出辅助线，找到为OP与平面ABC所成的角，且P移动到AB中点K时，OP的长度最小，为OP与平面ABC所成的最大角，设出边长，列出方程，求出O到平面ABC的距离.

【详解】记ABC外接圆圆心为，则平面ABC，

故为OP与平面ABC所成的角，

如图，当P移动到AB中点K时，OP的长度最小，

对应正切值最大，OP与平面ABC所成的角最大，

则为OP与平面ABC所成的最大角，

根据题意：，

设，则，，

在Rt与Rt中，有，

即，求得：，

故O到平面ABC的距离为

故选：A.

8.已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为（