第41讲 数列不等式的证明方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析.doc

【知识要点】

证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.

一、数学归纳法

一般地，证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤：

（1）证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当（，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立.

综合（1）（2），对一切自然数（），命题都成立.

二、放缩法

证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.

放缩的技巧：

=1\*GB3①添加或舍去一些项，如：

②将分子或分母放大或缩小，如：

③利用基本不等式等，如：

三、分析法

证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.

用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.

一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.

【方法点评】

方法一

数学归纳法

解题步骤

一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.

【例1】用数学归纳法证明:

【点评】利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.

【反馈检测1】已知，（其中）

（1）求及；

（2）试比较与的大小，并说明理由．

方法二

放缩法

解题步骤

一般放缩数列通项，或放缩求和的结果.

【例2】已知函数

（1）当时，求函数在上的极值；

（2）证明：当时，；

（3）证明：.

（2）令

则

上为增函数.

（3）由（2）知

令得，

【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的.学科*网

【反馈检测2】已知数列满足．

（1）求及通项公式；（2）求证：．

【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，17，记为数列，第一列数1，4，9，16，25，记为数列

（1）写出数列，的通项公式；

（2）若数列，的前n项和分别为，用数学归纳法证明：；

（3）当时，证明：．

【反馈检测4】已知函数

（1）当时，比较与1的大小；

（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；

（3）求证：对于一切正整数，都有

【反馈检测5】已知函数.

（1）讨论的单调性与极值点；

（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；

（3）证明：.

方法三

分析法

解题步骤

从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件.

【例3】已知函数是奇函数，且图像在点处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．

（1）求实数、的值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；

（3）当时，证明：．

（2）当时，设，

则

设，则，在上是增函数

因为，，

所以，使

时，，，即在上为减函数；

同理在上为增函数

从而的最小值为

所以，的最大值为

【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明.

【反馈检测6】已知函数.

（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；

（2）求函数在上的最小值；

（3）试证明：.

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第41讲：

数列不等式的证明方法参考答案

【反馈检测1答案】（1），；（2）当或时，,当时，．

【反馈检测1详细解析】

（1）取，则；取，则，

．

∵时，，

∴

∴．

即时结论也成立，

∴当时，成立.

综上得，当或时，；

当时，．

【反馈检测2答案】（1），；（2）见解析.

【反馈检测3答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析.学科*网

【反馈检测3详细解析】

（1）由，得：，

．

①当时，，∴，又，∴时等式成立；

②假设时等式成立，即，

则时，

，

∴时等式也成立．

根