湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考试卷+(三)数学试题.docxVIP

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大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）

数 学

得分：

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数（为虚数单位），是z的共轭复数，则的值为

A．1 B． C． D．

2．设全集，，，则

A． B． C． D．

3．已知向量，满足，，，则

A．5 B．3 C．2 D．1

4．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如，，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是

A． B． C． D．

5．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是

A． B． C． D．

6．已知，，．则a，b，c的大小关系是

A． B． C． D．

7．已知，，则

A． B． C．6 D．4

8．已知函数的零点分别为，，…，，），则

A． B． C．0 D．2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布，则，，

）

A． B．

C． D．

10．下列说法正确的是

A．若不等式的解集为，则

B．若命题p：，，则p的否定为：，

C．在△ABC中，“”是“”的充要条件

D．若对恒成立，则实数x的取值范围为

11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，则下列说法正确的是

A．函数的解析式为 B．函数的解析式为

C．函数图象的一条对称轴是 D．函数在区间上单调递增

12．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，，AB⊥AC，，点D为AB的中点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且，已知在弧度制下锐角，满足：，，则下列结论正确的是

A．过点D作球的截面，截面的面积最小为 B．过点D作球的截面，截面的面积最大为

C．点Q的轨迹长为 D．点Q的轨迹长为

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为．

14．已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为．

15．若的展开式中第4项是常数项，则除以9的余数为．

16．已知函数的定义域为，且，函数在区间内的所有零点为（，2，3，…，n）．若，则实数a的取值范围是．

四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

半径为R的圆内接△ABC，，∠ACB为锐角．

（1）求∠ACB的大小；

（2若∠ACB的平分线交AB于点D，，，求△ABC的面积．

18．（本小题满分12分）

已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

19．（本小题满分12分）

如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，，M为DF的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，

图① 图②

（1）证明：EF⊥MC；

（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论函数零点的个数；

（2）是否存在正实数k，使得恒成立．

21．（本小题满分12分）

某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上两级的概率为，设他上到第n级的概率为．

（1）求他上到第10级的概率（结果用指数形式表示）；

（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．

22．（本小题满分12分）

已知椭圆C：（）的离心率为，其左、右焦点分别为，，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．

（1）求椭圆C的方程；

（2过点且斜率为k的动直