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2018考研数学一真题及解析
2018考研数学一真题及解析
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.
下列函数中,在处不可导的是()
(A) (B)
(C) (D)
【答】选(D).
【解】对于D:由定义得;
,,所以不可导.
过点,且与曲面相切的平面为()
(A)与(B)与
(C)与 (D)与
【答】应选(B).
【解】法一:
设平面与曲面的切点为,则曲面在该点的法向量为
,切平面方程为
切平面过点,,故有
,(1)
,(2)
又是曲面上的点,故,(3)
解方程(1)(2)(3),可得切点坐标或.因此,切平面有两个与,故选(B).
【解】法二:
由于不经过点和,所以排除(C)(D)。
对于选项(A),平面的法向量为,曲面的法
向量为,如果所给平面是切平面,则切点坐标应为,而曲面在该点处的切平面为,所以排除(A).所以唯一正确的选项是(B).
()
(A) (B)
(C) (D)
【答】应选(B).
【解】因为
而
,故选(B).
设,,,则()
(A) (B)
(C) (D)
【答】应选(C).
【解】;
,
,;
.故选(C).
下列矩阵中与矩阵相似的为()
(A) (B)
(C) (D)
【答】选A.
【解】
选A.
设,为阶矩阵,记为矩阵的秩,表示分块矩阵,则()
(A) (B)
(C)(D)
【答】应选(A).
【解】设,则矩阵A的列向量组可以表示C的列向量组,
所以,即,故答案选A.
设随机变量的概率密度满足,且,则()
(A)(B)(C)(D)
【答案】A
已知可得图像关于对称,从而
设总体服从正态分布.是来自总体的简单随机样本,据此样本检验假设:,,则()
(A)如果在检验水平下拒绝,那么在检验水平下必拒绝
(B)如果在检验水平下拒绝,那么在检验水平下必接受
(C)如果在检验水平下接受,那么在检验水平下必拒绝
(D)如果在检验水平下接受,那么在检验水平下必接受
【答】应选(D)
【解】正确解答该题,应深刻理解“检验水平”的含义。
统计量,在检验水平下接受域为,
解得接受域的区间为;
在检验水平下接受域的区间为。
由于,下接受域的区间包含了下接受域的区间,故选(D).
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
若则__________.
【答】应填.
【解】因为,故,即.
设函数具有2阶连续导数,若曲线过点且与曲线在点处相切,则__________.
【答】应填.
【解】.
.
设,则.
【答】
【解】
故。
设为球面与平面的交线,则.
【答】应填
【解】先求交线:,由于曲面方程与平面方程中的满足轮换对称性,因此在曲线上具有轮换对称性。又知
由轮换对称性可得:.
设2阶矩阵有两个不同特征值,是的线性无关的特征向量,且满足,则______.
【答】应填
【解】设对应的特征值分别是,则
,
,由于线性无关,故,从而的两个不同的特征值为,于是.
设随机事件与相互独立,与相互独立,,若,,则.
【答】应填.
【解】
.
三、解答题:(15~23小题,共94分.)
(本题满分10分)求不定积分.
【解】
.
(本题满分10分)将长为的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在,求出最小值.
【解】设
令
,即
则,故
那么此时的就是使S最小的点
S最小值为
(本题满分10分)设是曲面的前侧,计算曲面积分.
【解】将空间曲面化成标准形以便确定积分曲面的形状。
曲面前侧是一个半椭球面,补平面,取后侧,则
由高斯公式可得
其中,由“先二后一”法可得
.
而.故.
(本题满分10分)已知微分方程,其中是上的连续函数.
(I)若,求方程的通解;
(II)若是周期为的函数,证明:方程存在唯一的以为周期的解.
【解】(I)若,则,由一阶线性微分方程通解公式
得。
(II)由一阶线性微分方程通解公式可得,
由于在中无法表达出来,取,
于是
若方程存在唯一的以为周期的解,则必有,即
.
由于为一常数
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