弹性力学课件.ppt

*第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：将式(4-1)改写：即：回顾直角坐标：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：将式(4-1)改写：即：回顾直角坐标：注：是必为某一函数V全微分必要充分条件。即：则：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：设：即：回顾直角坐标：及：及：注：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：即：回顾直角坐标：移项：设：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：因为：回顾直角坐标：所以：将σφ,τρφ代入式（a）第一式：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：有：将σφ,τρφ代入式（a）第一式：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：将σφ,τρφ代入式（a）第一式：式（4-5）为极坐标中，不计体力时，用应力函数Φ表示的应力分量。第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程一、应力函数不计体力：式（4-5）为极坐标中，不计体力时，用应力函数Φ表示的应力分量。或：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程将几何方程式(4-2)中的位移分量uρ，uφ消去，即得相容方程。故：回顾直角坐标：极坐标也应大致有类似关系：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程两边同乘ρ2，再对ρ求导，整理后有：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程将上式展开，并两边同除以ρ2：式(4-6′)就是用应变分量表示的极坐标系相容方程。第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程将式(4-6′)中的应变分量用应力分量代替，得到用应力分量表示的相容方程：可将切应力τρφ用正应力σρ，σφ代替。第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程用应力分量表示的相容方程：将切应力用正应力σρ，σφ代替，利用平衡方程有：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程用应力分量表示的相容方程：将切应力用正应力σρ，σφ代替，利用平衡方程有：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程用应力分量表示的相容方程：将及代入上式，并整理有：第四章平面问题的极坐标解答§4.3应力函数与相容方程二、相容方程用应力函数表示的相容方程为：式(4-6)为应力函数Φ的求解方程。极坐标解平面问题步骤（不计体力）：1)由式(4-6)解出Φ；2)由式(4-5)求出应力分量；3)应力分量满足边界条件；4)由式(4-3)或(4-4)求出应变分量；5)由式(4-2)求出位移分量，并满足边界条件；第四章平面问题的极坐标解答§4.4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换：设，已知：求：ab面为x面，边长为dy，ac面为ρ面，边长为dycosφ，bc面为φ面，边长为dysinφ，单元厚度为1，第四章平面问题的极坐标解答§4.4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换：设，已知：求：第四章平面问题的极坐标解答§4.4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换：设，已知：求：(4-7)为应力分量由极坐标向直角坐标的坐标变换式。第四章平面问题的极坐标解答§4.4应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换：设，已知：求：(4-8)为应力分量由直角坐标向极坐标的坐标变换式。第四章平面问题的极坐标解答作业：4-4，4-6第三章平面问题的直角坐标解答设楔形体左面铅垂，右面与铅直面成α角，下端认为无限长，承受重力及液体压力。楔形体密度为ρ1，液体密度为ρ2。试求应力分量。§3.3楔形体受重力和液体压力用半逆解法求解：分析：且与成正比。量纲分析：所以，用多项式表示应力分量时，应为的组合。A,B,C,D为待定常数。第三章平面问题的直角坐标解答设楔形体左面铅垂，右面与铅直面成α角，下端认为无限长，承受重力及液体压力。楔形体密度为ρ1，液体密度为ρ2。§3.3楔形体受重力和液体压力用半逆解法求解：的一次式。因此，设：所