微积分发展简史-PowerPoint演示文稿.pdfVIP

聊聊天

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微积分的产生——17、18、19世纪的微积分.

很久很久以前,

在很远很远的一块古老的土地上,

有一群智者……

开普勒、笛卡尔、卡瓦列里、费马、帕斯卡、

格雷戈里、罗伯瓦尔、惠更斯、巴罗、瓦里斯、

牛顿、莱布尼茨、…….

十七世纪的微积分

十七世纪的微积分

任何研究工作的开端，几乎都是极不完美

的尝试，且通常并不成功。每一条通向某个目

的地的路都有许多未知的真理，唯有一一尝试，

方能觅得捷径。也只有甘愿冒险，才能将正确

的途径示以他人。……可以这样说，为了寻找

真理，我们是注定要经历挫折和失败的。

——狄德罗

任何重要思想的起源都可以追溯到几十年或

几百年以前，函数的概念也是如此。直到17世纪，

人们对函数才有了明确的理解。函数概念的提出，

与伽利略和格雷戈里有关。格雷戈里将函数定义

为这样一个量：

它是其他的量经过一系列代数运算而得到的，

或者经过任何其他可以想象到的运算而得到的。

因为这个定义太窄，所以很快就被遗忘了，并

被陆续出现的其它关于函数的定义替代。但即使是

最简单的函数也会涉及到实数。而无理数在17世纪

时并不被人们充分了解，于是，人们在处理数值时

就跳过逻辑，对函数也是如此。在1650年以前，无

理数就一直被人们随心所欲地使用着。

紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是

继欧几里德几何之后，全部数学中的一个最伟大的

创造。虽然在某种程度上，它是已被古希腊人处理

过的那些问题的解答，但是，微积分的创立，首先

还是为了处理十七世纪主要的科学问题的。

哪些主要的科学问题呢?

哪些主要的科学问题呢?

有四种主要类型的问题.

有四种主要类型的问题.

Archimedes

第一类问题

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，

求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知

物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距

离。

第一类问题

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时

每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算

平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为

在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而

0/0是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在

它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第二类问题

求曲线的切线。

这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问

题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体

在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

第二类问题

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个

没有解决的问题。

古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接

触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对

于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。

第三类问题

求函数的最大最小值问题。

十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角

发射炮弹时，射程最大。

研究行星运动也涉及最大最小值问题。

第三类问题

困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研

究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。

第四类问题

求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成

的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于

另一个物体上的引力。

第四类问题

困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和

体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用

了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法

缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。

穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而

被根本修改了。

欧多克斯的穷竭法是一种有限且相