1第一章复数与复变函数.pptVIP

数学物理方法第一篇复变函数论数学物理方法《数学物理方法》是物理系本科各专业以及部分工科专业学生必修的重要基础课，是在高等数学课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为学习物理专业课程提供基础的数学处理工具。教材及指导书一、教材：四川大学数学系编，《高等数学（第四册）-数学物理方法》，高教出版社。复变函数论第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章哥西定理哥西积分第四章解析函数的幂级数表示第五章残数及其应用第一章复数与复变函数数的扩张（完善化）自然数整数有理数实数（无理数）方程可解性→复数第一节复数复数域；复数的表示几何表示，复平面关系x=rcosφr=√(x2+y2)y=rsinφφ=Arctan(y/x)复数运算运算加减法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)第二节复变函数的基本概念概念定义函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射复变函数：f:z→w复变函数更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=√(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=∑anznw=∑ansin(nωz)w=∏(1-z2/n2)w=∫exp(-z2)dz复变函数复变函数定义域和值域答案(1)由表达式可知,这是一条直线,即a,b两点的垂直平分线.复变函数映射基本函数三次函数定义w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x3–3xy2,v=3x2y-y3性质对称性无周期性无界性单值性指数函数定义w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny三角函数定义w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性质对称性周期性无界性单值性复变函数的极限与连续性复变函数的极限复球面投影法定义无穷远点**第二篇数学物理方程第三篇特殊函数体现了数学物理方法作为数学应用于物理和其他科学的桥梁作用。二、主要的参考书：梁昆淼编.《数学物理方法》，第三版，高等教育出版社，98年胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》高等教育出版社。陆全康编，《数学物理方法》上、下，上海科学技术出版社。郭敦仁编，《数学物理方法》，北京：人民教育出版社。胡嗣柱、倪光炯编，《数学物理方法》，复旦大学出版社势场中三维运动粒子含时的薛定谔方程拉普拉斯算符三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|（模）,φ=Arg(z)（幅角）指数表示z=rexp(iφ)（r=1为单位复数）exp(iφ)=cosφ+isinφ(欧拉公式)代数表示z=x+iyx=Real(z)=Rez,y=Imagine(z)=Imzr=|z|（模）,φ=Arg(z)（幅角）φ0=arg(z)（幅角主值或主幅角）(-π,π]特点无序性复数无大小矢量性复数有方向乘除法(两种表示)r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]r1exp(iφ1)/r2exp(iφ2)=(r1/r2)exp[i(φ1-φ2)]幂和开方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)(隶摩弗公式)复共轭（两种表示）z=x+iy→z*=x–iyz=rexp(iφ)→z*=r