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专题40重要的几何模型之12345模型

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。

【模型解读】

模型1、12345模型及其衍生模型

【模型来源】2019年北京市中考

如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（）°（点A，B，P是网格交点）．

该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。

上面的∠PAB和∠PBA便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan∠PAB=，tan∠PBA=，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

【常见模型】下面模型中，，2，3，，均为对应角的正切值。

∠α+∠β＝45°；∠α+45°＝∠GAF；∠DAF+45°＝∠EAH；∠α+∠β＝135°；

∠α+∠β＝90°；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；∠ADB+∠DBA＝∠BAC；

切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。

例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在中，，，点D是AC上一点，连接BD．若，，则CD的长为（???????）

A． B．3 C． D．2

例2.（2023.成都市中考模拟）如图，正方形，，点E为上一动点，将三角形沿折叠，点A落在点F处，连接并延长，与边交于点G，若点G为中点，则．

例3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（????）

??

A． B． C． D．4

例4.（2023.四川广元中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点在轴上，且点在点右方，连接，，若，则点的坐标为．

??

例5.（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（????）

A． B． C． D．1

例6.（2023.内蒙古.中考真题）如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转，得到．连接，交于点D，则的值为．

??

例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形的边长为，点是的中点，与交于点，是上一点，连接分别交，于点，，且，连接，则，．

课后专项训练

1.（2023·深圳市高级中学联考）如图，正方形中，是中点，连接，，作交于，交于，交于，延长交延长线于，则的值为（????）

??

A． B． C． D．

2.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点，将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE长是()

A．1????B．1.5????C．2????D．2.5

3.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，将矩形纸片沿CE，CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C，H，G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）．

A．2B．C．D．3

C

C

D

B

A

E

F

G

H

4.（2023.湖北九年级期中）如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是AB边延长线上一点，BE＝2，F是AB边上一点，将△CEF沿CF翻折，使点E的对应点G落在AD边上，连接EG交折痕CF于点H，则FH的长是（????）

A． B． C．1 D．

5.（2023.浙江中考模拟）如图，A，B，C，D是边长为1的小正方形组成的6×5网格中的格点，连接交于点E，连接．给出4个结论：①；②；③；④．其中正确的是（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD的边BC斜着向AD边对折，使点B落在AD上，记为点B，折痕为CE，再将CD边斜向下对折，