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在二次函数背景下等腰直角三角形存在

性问题

二次函数是初中数学阶段学习的重要函数模型，同时也是高中阶段学习的基

础.在2015年至2019年重庆中考中，常常在26题最后一问中考察存在性问题.

这一类问题的技巧性和综合性比较强，解决起来有一定的难度，对知识的迁移能

力、灵活运用能力和分析问题的能力要求高.在存在性问题中，等腰直角三角形

的存在性问题是其中的一个重难点.

学生在解决此类问题时，一般都知道通过作图构造三垂直模型，根据全等三

角形的性质来列方程（组），但是难点就在于若要把图形画的尽量标准，那么试

卷的大小就可能不能满足学生的需求，从而导致学生画不出图形，这是其一，其

二在于有的图形虽然可以画出，但是花费的时间较长，学生不能读完题目立即动

笔算出答案，在考试当中不利于学生对试卷整体的把握。基于此，我们对二次函

数背景下等腰直角三角形的存在性问题进行的探究，总结出了不用通过作图，只

需要设出等腰直角三角形三顶点的坐标，通过纯代数的方法列出方程组，从而解

FD

得等腰直角三角形未知顶点坐标的方法，将其命名为“”法.

FD

“”法主要的模型背景是等腰三垂直模型，过等腰直角三角形的直角顶点

引一条直线，过两个锐角顶点向这条直线作垂线，则可得到以等腰直角三角形的

直角边作为斜边的两直角三角形全等.

在解题过程中，FD法最大的优势在于学生可以不需要通过画图，只要列出几

FD

个方程组，通过简单的计算就可以得到所有的可能情况，现对“”法进行介绍.

设，现在只需要分别以为直角顶点，列出六个

方程组即可.

（1）如图①，以为直角顶点，为锐角顶点，不管的相对位置，

通过构造一个三垂直模型，得到≌.∴.可列方程组为：

，

如图①如图②如图③

（2）如图②，以为直角顶点，为锐角顶点，同理得到≌

.∴.可列方程组为，.

（3）如图③，以为直角顶点，为锐角顶点，同理得到≌

.∴.可列方程组为，.

证明如下，以为直角顶点，为锐角顶点为例，其余两种情况同理，以

为原点建立平面直角坐标系..

图④图⑤

如图④，若点在第一象限运动，只要在的右

侧，那么一定在的上方；如图⑤，若在第三象限运

动，只要在的左侧，那么一定在的下方，此时

可列方程组.

图⑦图⑧

如图⑦，若点在第二象限运动，只要在的

上方，那么一定在的左侧；如图⑧，若在第

四象限运动，只要在的下方，那么一定在的右侧，此时可列方程组

.

三