专题11 空间向量及其运算11种常见考法归类（解析版）.docxVIP

专题11空间向量及其运算10种常见考法归类

思维导图

核心考点聚焦

考点一、有关空间向量的概念的理解

考点二、空间向量的加减运算

考点三、空间向量的数乘运算

考点四、向量共线问题

考点五、向量共面问题

考点六、空间向量的数量积运算

考点七、利用数量积求夹角

考点八、利用数量积求距离

考点九、利用数量积证明垂直关系

考点十、空间投影向量的计算

知识点1空间向量的概念

(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．

空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B，则a也可记作，其模记为|a|或||.

(2)几类特殊的空间向量

①零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。

②单位向量：长度为1的空间向量，即.

③相等向量：方向相同且模相等的向量。

④相反向量：方向相反但模相等的向量。

⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．

⑥共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。

知识点2空间向量的加减运算及运算律

如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作＝a，＝b，则＝＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，＝－＝b－a.

(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．

＝＋＝a＋b

＝－＝a－b

＝＋＝＋＝a＋b

(2)空间向量加法交换律

a＋b＝b＋a

空间向量加法结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

空间向量加法的运算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：；

知识点3空间向量的数乘运算

(1)实数与向量的积

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|.

②当λ0时，λa与向量a方向相同；当λ0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

(2)空间向量数乘运算满足以下运算律

①λ(μa)＝(λμ)a；

②λ(a＋b)＝λa＋λb；

③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．

知识点4共线向量与共面向量

(1)平行(共线)向量

定义

表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合

充要条件

对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb

点P在直线l上的充要条件

存在实数t满足等式＝＋ta在直线l上取向量＝a，则＝＋t

向量a为直线的方向向量

(2)共面向量

定义

平行于同一个平面的向量

三个向量共面的充要条件

向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝xa＋yb

点P位于平面ABC内的充要条件

存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y

对空间任一点O，有＝＋x＋y

知识点5空间向量数量积的概念

(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

(λa)·b＝λ(a·b)

交换律

a·b＝b·a

分配律

a·(b＋c)＝a·b＋a·c

(3)空间向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.

知识点6空间向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b?a·b＝0

②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝

③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝

④|a·b|≤|a|·|b|

知识点7投影向量的概念

1、向量在向量上的投影

对于空间向量任意两个非零向量，，设向量，，过点作，

垂足为，上述由向量得到向量的变换称为向量向向量的投影，

向量称为向量在向量上的投影向量。与平面向量的情形类似，我们有

2、向量在平面上的投影

向量，过，作平面的垂线，垂足为，，得到向量，

我们把向量称为向量在平面上的投影向量，此时数量积有

1、在空间，平面向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．

2、根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可以按减法法则