7第七章 一维波动方程的付氏解.pptVIP

2.2非齐次方程强迫振动方程

（Forcedvibrationequation）非齐次边界条件的处理若边界条件为其它类型的齐次边界条件,同样可求得本征值和本征函数.对应的本征问题有：一、定解问题两端固定弦的强迫振动一、方程和边界条件的同时齐次化非齐次方程带有齐次定解条件的问题齐次方程带有非齐次定解条件的问题+二、叠加原理：叠加原理：有界弦的自由振动解+有界弦的非强迫振动解三、Fourier阶数解法解：1.设定解问题的解为2.显然满足齐次边界条件,要满足初始条件有比较系数3.将代入后方程有4.将展开成Fourier级数或利用本征函数正交性.其中5.比较系数不论方程是齐次还是非齐次,其定解问题都有一个前提：边界条件是齐次的.但实际问题中,常有非齐次边界条件出现，这样的问题如何处理？一、定解问题1.一般处理方法：非齐次边界条件齐次化①令.②适当选择,使满足③这样一定满足齐次边界条件取例：求解定解问题利用边界条件：①，则②，则若齐次方程行列式，则只有零解.结论：不是本征值.ⅱ.若,则,则通解为利用边界条件：①，则②，则。。时方程只有零解，所以不是本征值.ⅲ.若,则特征方程为通解为利用边界条件：因为,所以.即本征值,,无穷多个相应的本征函数就是第三步：求特解，并叠加出一般解。求得本征值问题后，对每一个本征值可以求得相应的.的方程其中，为任意常数,也得到了满足泛定方程和边界条件的特解为过程说明:①这样的特解有无穷多个.②每一个特解都满足齐次方程,齐次边界条件.③一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件.即一般无法找到常数，满足④偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的任意有限个特解叠加起来,仍然满足齐次方程和齐次边界条件的解,是否满足初始条件？⑤把全部无穷多个特解叠加起来只要函数有足够的收敛性(如可以逐项求二阶偏微商),则这样得到的齐次方程在齐次边界条件的解.仍然是如何选择一般解中的叠加系数,?第四步：利用本征函数的正交性定叠加系数.理论依据：本征函数的正交性,两端同乘以逐项积分有：本征函数正交性：,同理,由,两边同乘以并积分会有则这样,由初始条件中的和,就可得到叠加系数和问题(定解问题)的解.,从而求得了整个分析解答解的物理意义特解其中：,,,⒉:弦上各点的振幅分布.⒊:相位因子.⒋:驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有⒌:波数，单位长度上波的周期数.⒍:初相位，由初始条件决定.频率或本征频率,与初始条件无关.⒈代表一个驻波（standingwave),弦两端固定，自由振动会形成驻波⒎在,即,,的各点上,振动的振幅为0，称为波节.包括弦的个.两个端点在波节内，共有⒏在,即的各点上,振动振幅的绝对值个.恒为最大,称为波峰,波峰共有⒑就两端固定的弦来说，固有频率中有一个最小值,⒐整个问题的解是这些驻波的叠加.因而分离变量法也叫驻波法.而,称为基频.其它固有频率都是的整数倍.,称为倍频.一定时,通过改变弦的长度,就可调节⒒基频决定弦所发声音的音调,当弦的质料一.定，即⒓解中基频和倍频的叠加系数和的相对大小决定了声音的频谱分布(音色).⒔和数与弦的总冲量成正比,⒕弦的总能量是经两端反射的波的能量。决定了声音的响度.例1.用分离变量法求解混合问题解：1.分离变量设,代入泛定方程有两边同时除以有即2.解本征值问题ⅰ若,特征方程则通解为,，,于是不是特征值.ⅱ若,则通解为也不是特征根.ⅲ若,则特征方程为通解为故本征值为本征函数为3求特解，并叠加出一般解对每一个,有其中，为任意常数.泛定方程的特解是：本征解的叠加,得一般解为4、确定叠加系数①由两端同乘以并积分得：②由有*第七章一维波动方程的付氏解数理方程（泛定方程）（三类）在物理学的研究中起着重要作用。如何从物理学的实际问题中导出数理方程呢？我们先从弦振动方程入手。引言基本步骤：1.建立