专题2.9圆中阴影部分面积的计算大题培优专练-2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）.pdf

2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】

专题2.9圆中阴影部分面积的计算大题培优专练

一．解答题（共30小题）

1．（2023•永修县三模）如图，已知AB是⊙O的直径，C点是AB弧上的一点，CE⊥AB于E，点D是BC

弧的中点，AD交CE于点F，交BC于点G．

（1）判断△FGC的形状，并证明；

（2）若∠CAD＝30°，AB＝12．

①求CF的长；

②求阴影部分的面积．

【答案】（1）△CFG是等腰三角形，证明见解答过程；

（2）①23；

②6π﹣93．

【分析】（1）结合已知条件，利用圆周角定理及等角的余角相等易证得∠AGC＝∠AFE，再利用对顶角

相等及等角对等边即可证得结论；

（2）①结合（1）中所求及已知条件，利用直角三角形性质易得AC＝6，然后利用三角函数求得CG的

长度，从而得出CF的长度；

②连接OC，利用等边三角形的判定及性质求得∠AOC的度数及OE的长度，然后利用勾股定理求得CE

的长度，最后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积进行计算即可．

【解答】（1）△CFG是等腰三角形，证明过程如下：

证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠CAD+∠AGC＝90°，

∵CE⊥AB，

∵∠AFE+∠BAD＝90°，

∵D为的中点，

∴∠CAD＝∠BAD，

∴∠AGC＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠CFG，

∴∠CGF＝∠CFG，

∴CF＝CG，

∴△CFG是等腰三角形；

（2）解：①∵∠BAD＝∠CAD＝30°，

∴∠BAC＝30°+30°＝60°，

∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°，

11

∴AC=AB=×12＝6，

22

∵∠ACG＝90°，

∴tan∠CAD＝tan30°=，

3

∴CF＝CG＝AC•tan30°＝6×=23；

3

②如图，连接OC，

∵∠OAC＝60°，OA＝OC，

∴△OAC是等边三角形，

∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝6，

∵CE⊥AB，

1

∴OE＝AE=OA＝3，

2

∴CE=2―2=33，

∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC

60×621

=―×6×33

3602

＝6π﹣93．

【点评】本题考查圆与三角形性质的综合应用，圆的相关性质，三角函数，等边三角形的判定及性质，

三角函数都是重要知识点，必须熟练掌握并应用．

2．（2023•乌当区模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，DM＝DE，DE⊥AD交AB于点E，AE为⊙O的

直径，DF⊥AB．

（1）求证：∠CAD＝∠DAB；

（2）若DM平分∠ADC，求∠CAD的度数；

（3）若AD＝BD＝6cm，求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；

（2）30°；

33

2

（3）（2π―）（cm）．

2

【分析】（1）根据圆周角定理即可得出答案；

（2）由角平分线定义得到∠CDM＝∠ADM，由等腰三角形的性质，余角的性质推出∠CDM＝∠CAD，

由直角三角形的性质即可求出∠CAD的度数；

（3）由等腰三角形的性质，直角三角形的性质求出∠B的度数，得到∠DOE＝60°，由直角三角形的性

质求出DF，OF，OD的长，求出扇形ODE的面积，△ODF的面积，即可求出阴影的面积．

【解答】（1）证明：∵DM＝DE，

=

∴，

∴∠CAD＝∠DAB；

（2）解：连接OM，