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《常微分方程》教学大纲

适用专业：数学与应用数学专业（本科）

课程性质：专业必修课

一、课程的目的与任务

《常微分方程》是数学专业本科的一门专业基础课，也是常微分方程学科

本身近代发展方向的重要基础。开设本课程的目的在于使学生掌握《常微分方

程》的基本概念、基本理论和基本方法，使学生具有初步分析问题和解决问题

的能力，为培养高素质的教学与科研人才服务。

要求学生较好地掌握下面教学大纲所包括的教学内容。

本课程教学总时数为68学时，其中讲授53学时，习题课15学时。关于

（*）号的内容，没有安排讲授时间，可根据情况灵活掌握。

二、与各课的联系及开设学期

予修：数学分析、高等代数、解析几何

开设学期：第四学期

三、教学时数及分配

第四学期开课，每周4学时。授课学时68学时（习题课包含在内）。讲

授学时分配如下表：

章节一二三四五六七

时数4121018168*

四、教学内容与要求

(一)绪论（4学时）

1、教学目标

了解微分方程的基本概念及例子。

2、教学内容

(1)微分方程的例子

(2)基本概念（阶、线性、非线性、解、特解、通解、初始条件、初值问题、积分曲线与

方向场）

(二)一阶微分方程（12学时）

1、教学目标

熟练掌握一阶微分方程的几种基本解法。

2、教学内容

(1)几种显式的一阶微分方程。

①可分离变量的一阶方程。

②可化为分离变量的一阶方程。

③线性方程、常数变易法。

④伯努利（Bernoulli）方程。

⑤全微分方程，积分因子。

(2)几种隐式的一阶方程.

①可就y解出的方程。

②可就x解出的方程。

③不显含y的方程。

④不显含x的方程。

(三)一阶微分方程的基本理论（10学时）

1、教学目标

解的存在与唯一性定理及方程解的基本性质是微分方程的基本理论。要求

熟练掌握存在与唯一性定理的证明方法。求奇解的方法要求掌握。

2、教学内容

(1)一阶微分方程的基本理论

①解的存在与唯一性定理。

②解的延拓。

③解对初值的连续性与可微性，解对参数的连续性。

(2)奇解与包络

(3)应用举例

(四)高阶微分方程（18学时）

1教学目标

了解高阶线性方程解的存在与唯一性定理，熟练掌握高阶线性方程解的结

构、及求解方法（包括：常数变易法、特征根法、待定系数法、降阶法、幂级

数解法等）。

2、教学内容

(1)高阶线性方程的基本理论

①解的存在与唯一性定理的叙述。

②线性齐次方程解的性质与结构。

③线性非齐次方程解的性质、通解、常数变易法。

(2)常系数线性方程

①常系线性齐次方程的特征根法。

②欧拉（Euler）方程。

③常系数线性非齐次方程的特解，待定系数法，拉普拉斯变换。

④振动问题。

(3)高阶微分方程的降阶

(4)二阶线性方程的幂级数解法

①常点的情形。

②正则点的情形。

(五)线性微分方程组（16学时）

1、教学目标

熟练掌握线性微分方程组的基本理论及其求解方法（包括常数变易法，常系

数方程组基本解矩阵的求法）

2、教学内容

(1)线性微分方程组的基本理论

①线性方程组的向量形式与解的存在、唯一性定理的叙述。

②线性齐次方程组解的性质与结构。

③线性非齐次方程组的解的性质与结构，常数变易法。

(2)常系数线性方程组的解法

①矩阵指数expA.

②基本解矩阵的计算。

③常数变易法。

④拉普拉斯变换的应用。

(六)定性理论简介（8学时）

1、教学目标：

了解非线性方程组的相平面，轨线的概念。掌握奇点的分类。初步掌握按线

性近似系统判断系统解的稳定性。

2、教学内容：

(1)自治系统，相平面与轨线。

(2)二维自治系统的平衡点。

(3)二维自治系统的极限环。

(4)自治系统平衡点的稳定性。

①据线性近似系统判断