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关于两堂“变化率问题”课的思考

关于两堂“变化率问题”课的思考

人民教育出版社中学数学室王嵘

本次课题研讨会中安排的两节“变化率问题”课的教学设计差别

很大，出现的问题也不少，因此引发了很多争论。下面，就三个方面

谈谈对本课的思考。

1．教学内容的安排

在教科书中，“3.1变化率与导数”划分为两部分“3.1.1变化率

问题”和“3.1.2导数的概念”，建议4课时。教师甲的教学内容就是

“3.1.1变化率问题”，即平均变化率及其几何意义；教师乙的教学内

容是“3.1.1变化率问题”和“3.1.2导数的概念”中的瞬时变化率。研

讨的时候，大多数老师认为，教师乙的教学内容安排比较好，一是内

容比较丰满，二是展现了从平均变化率到瞬时变化率的完整过程。如

果教学设计做得好，那么从平均变化率到瞬时变化率会是一堂非常精

彩的课。因为，这个知识本身的内涵就很丰富，而且教学设计的变化

点也很多。相比之下，如果一堂课只是讲平均变化率及其几何意义，

似乎就会单薄、逊色很多，特别是公开课的时候。但是，如果放大这

两节课的一个共同点，即使只有平均变化率及其几何意义这个知识点，

这堂课也能收到满意的效果。这个共同点，就是两位老师不约而同都

提到的微积分的发展史，只是，他们对微积分发展史的介绍过于简单

和粗糙，上完课，学生可能对此一点印象都没有留下。

我们总是说，要让学生接受数学文化的熏陶、体会数学的价值，

但是在课堂上，却做得很少。像微积分这样有文化底蕴的数学内容，

为什么不抓住这绝好的时机介绍它的发展史呢，更何况是在引入微积

分的时候。在这里，发展史的介绍不仅仅是文化上的熏陶，还有更多

的作用，比如了解微积分的概貌及其在数学中的位置；相关数学家的

工作，既能让学生看到智慧之光，又能让学生从两千年的艰辛历程中

明白即使在学习中有些困惑疑难也并不奇怪，坚持思考是通向成功之

门的钥匙；有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的

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面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生

的求知欲。所以，精心组织微积分发展史的素材，融入到本课教学内

容中，应该是微积分起始课的“当然任务”。

在教学设计中需要注意，历史的介绍应该是生动有趣的，有中心、

有问题、有事例、有思考等。例如，微积分起源于四类问题，如果用

具体的例子进行说明，学生就会比较有感觉，而不会太空洞，像起源

问题之一的运动速度就可以选用教科书中的高台跳水例子辅助说明。

同时，借助于这个例子还可以从历史的介绍自然地过渡到变化率的学

习上，如此一来，历史的介绍和数学知识的学习就结合为一个整体。

在这种设计下，也不必顾虑是否这节课的数学知识太少了，因为并不

是每一堂数学课都要有那么紧凑的数学知识，不同类型的数学课承担

的作用应该有所不同，像微积分的起始课，就应该承担起以上所说的

那些作用。

2．气球膨胀率的问题

气球膨胀率和高台跳水是变化率问题中的两个例子，由它们抽象

概括出了平均变化率的数学定义。比较一下这两个例子，高台跳水体

现了微积分中的经典问题即速度问题，而且教科书直接给出了高度和

时间的函数关系式，学生对速度问题又很熟悉，所以这个问题是比较

简单的；气球膨胀虽然也是学生非常熟悉的生活现象，但是从这种直

观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，是很不容易的，

因此，这个问题是比较困难的。这一点，从这两堂课也可以得到印证。

不过，如果