专题2.11等边三角形的性质与判定大题专练（重难点培优）-【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【苏科版】.pdf

【讲练课堂】2022-2023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】

一、解答题

1△ABCBDBCECECDDBDE

．如图是等边三角形，是中线，延长到，使＝．求证：＝．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据角之间的关系求得∠DBC=∠CED，根据

等角对等边即可得到DB=DE．

【详解】

ABCBD

证明：∵△是等边三角形，是中线，

ABCACB60°

∴∠＝∠＝．

∠DBC＝30°（等腰三角形三线合一）．

又∵CE＝CD，

∴∠CDE＝∠CED．

又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，

1

∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°．

2

∴∠DBC＝∠DEC．

∴DBDE

＝（等角对等边）．

【点睛】

此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到

∠CED=30°是正确解答本题的关键．

21PQ△ABCABBCPAQB

．如图，点、分别是等边边、上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同

时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

(1)求证：△ABQ≌△CAP：

(2)PQABBC∠QMC

当点、分别在、边上运动时，的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，求出它

的度数．

(3)2PQABBCAQCPM∠QMC

如图，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、相交于点，则

的大小变化吗？若变化，请说明理由：若不变，则求出它的度数．

(1)

【答案】证明见解析

(2)∠QMC的大小不变，∠QMC=60°

(3)∠QMC的大小不变，∠QMC＝120°

【解析】

【分析】

1SAS△ABQ≌△CAP

（）根据等边三角形的性质，利用证明；

2△ABQ≌△CAP∠BAQ=∠ACP∠QMC=60°

（）由根据全等三角形的性质可得，从而得到；

3△ABQ≌△CAP∠BAQ=∠ACP∠QMC=120°

（）由根据全等三角形的性质可得，从而得到．

(1)

ABC

证明：∵△是等边三角形

ABQCAP60°ABCA

∴∠＝∠＝，＝，

∵PQ

又点、运动速度相同，

APBQ

∴＝，

在△ABQ与△CAP中，

ìAB=CA

ï

∵íÐABQ=ÐCAP，

ï

îBQ=AP

∴△ABQ≌△CAPSAS

（）；

(2)

PQABBC∠QMC∠QMC60°

解：点、分别在、边上运动时，的大小不变，＝．

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，