线性代数与空间解析几何(胡学刚)全套PPT课件.ppt

§2.4平面与空间直线2.直线与平面的相关位置设直线L过定点M0(x0,y0,z0),方向向量s=(l,m,n),平面?:Ax+By+Cz+D=0,法向量n=(A,B,C),则(1)直线L与平面?垂直的充要条件是s//n,(2)直线L与平面?平行的充要条件是(3)直线L在平面?上的充要条件是§2.4平面与空间直线3.直线与直线的相关位置设直线L1过定点M1(x1,y1,z1),方向向量s1=(l1,m1,n1),直线L2过定点M2(x2,y2,z2),方向向量s2=(l2,m2,n2),则(1)直线L1与直线L2垂直的充要条件是(2)直线L1与直线L2平行的充要条件是(3)直线L1与直线L2重合的充要条件是(4)直线L1与直线L2相交的充要条件是(5)直线L1与直线L2异面的充要条件是§2.4平面与空间直线例2.17设直线L过原点O且与直线垂直相交，求直线L的方程.解由L1的方消元得得由L1的标准方程从而由L1的参数方程方向向量s=(1,-2,1)§2.4平面与空间直线设直线L与L1的交点为从而故点直线L的方向向量从而直线L的方程为即§2.4平面与空间直线例2.18已知直线L通过点A(2,1,-1)且与平面平行，与直线相交，求直线L的方程.解易知L0的参数方程设直线L与L0的交点为则L的方向向量可取为又直线L与平面?0平行，?0的法向量n=（1，-2，3），故直线L的方程为§2.4平面与空间直线4.平面束的方程空间中过同一直线的所有平面的集合叫有轴平面束，直线叫有轴平面束的轴；空间中平行于同一平面的所有平面的集合叫平行平面束.可以证明，过二相交平面的交线L的平面束的方程为(2.4.12)其中λ，?是不全为零的实数，称之为参数.与已知平面?:Ax+By+Cz+D=0平行的平面束的方程为(2.4.13)这里λ为任意实数，称之为参数.§2.4平面与空间直线例2.19求经过直线且与yOz面垂直的平面π的方程.解设过直线L的平面的方程为λ，?不全为零.即又平面π与yOz面垂直，则故平面π的方程为§2.4平面与空间直线*5.公垂线的方程与两条异面直线都垂直且相交的直线为这两条异面直线的公垂线，两垂足的连线段为两异面直线的公垂线段.设直线L1过定点M1(x1,y1,z1),方向向量s1=(l1,m1,n1),直线L2过定点M2(x2,y2,z2),方向向量s2=(l2,m2,n2),直线L是直线L1与L2的公垂线,s是L的方向向量由于直线L与直线L1，L2都垂直，所以s与s1，s2都垂直,则可取s=s1?s2.L与L1确定的平面?1的法向量可取为于是平面?1的方程为即亦即§2.3向量的乘法2.3.3向量的混合积(1)向量混合积的定义与性质定义2.10给定三个向量?,?,?,运算称这个数为三向量?,?,?的混合积，记为(?,?,?),即§2.3向量的乘法当三个向量?,?,?不共面时，以?,?,?为棱作平行六面体(图2-18和图2-19)，图2-18图2-19显然，当?,?,?构成右手系(图2-18)时,(?,?,?)0;当?,?,?构成左手系(图2-19)时,(?,?,?)0.三向量混合积的几何意义：§2.3向量的乘法定理2.11三向量?,?,?共面的充要条件是(?,?,?)=0.定理2.12对于任意向量?,?,?即任意实数k有注2.5定理2.12中(1)式说明三向量的混合积是由三向量的循环顺序决定的，与哪个向量排在第一个无关；(2)式说明计算三向量的混合积，可以前两个向量作向量积，也可以后两个向量作向量积.§2.3向量的乘法例2.11试证明对于任意非零常数l,m,n及任意非零向量?,?,?,证明由于证毕§2.3向量的乘法(2)向量混合积的坐标表达式在[O;i,j,k]坐标系中，设向量则特别，三个向量?,?,?共面的充要条件§2.3向量的乘法例2.12设四点不共面，求四面体ABCD的体积.解因A,B,C,D四点不共面，所以向量于是四面体ABCD的体积的绝对值，利用行列式的性质有的绝对值.§2.3向量的乘法小结本节介绍了两向量的数量积、向量积及三向量的混合积运算，要求：1.掌握