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高考数学中的求导与导数问题解析

在高中数学中，求导和导数是一门重要而不可忽视的学科。在

高考中，求导和导数的知识点也是必考的内容之一。然而，很多

考生在这方面却经常出现疑惑和错误。本文将从求导与导数的基

本概念、原理、应用及解题技巧等多个层面来详细解析这一问题。

一、求导与导数的基本概念

1.1求导的定义

求导本质上是将一个函数在某一点的切线斜率作为此点导数的

值。具体来说，若函数y=f(x)在点(x0,y0)处有导数，则此导数为：

f(x0)=lim[f(x)-f(x0)]/[x-x0],x→x0。

这个定义理解起来比较抽象，但从定义中我们可以读出一些重

要信息，如：

（1）导数是一个局部概念，即指在某一点处求函数在该点的

切线斜率。

（2）导数的存在与连续性密切相关。只有连续的函数才有导

数。

（3）求导需要寻找一个极限，这也是在初学阶段比较容易忽

略的地方。

1.2导数的定义

导数（derivative）是研究函数变化率的一种数学工具。它描述

的是函数在某一点处的变化速率或斜率。一般地，数学上定义函

数f(x)在点x0处的导数为f的变化率。具体来说，导数f(x0)表示

函数f(x)在点x0的某个邻域内，随着x在x0处取值变化，当x趋

近于x0时，f(x)变化量与x-x0的比值的极限值（若存在的话）。

可以看出，导数的定义与求导的定义本质上是一样的。只是求

导更注重单点的斜率，而导数讨论的是区间内的变化率。

二、求导与导数的基本原理

2.1求导的基本方法

求导最基本的方法就是直接应用定义。以y=x²为例，设x0=1，

则根据导数的定义，f`(1)=lim[f(x)-f(1)]/[x-1],x→1

=lim[(x²-1)]/[x-1],x→1

=lim[(x+1)],x→1

=2

故y=x²在x=1处的导数为2。

对于一些简单的函数，可以使用函数求导的规则，如：

（1）f(x)=C,f`(x)=0，其中C是任意数。

（2）f(x)=xn,f`(x)=n*x^(n-1)，其中n是大于等于1的整数。

（3）f(x)=e^x,f`(x)=e^x。

（4）f(x)=sinx,f`(x)=cosx。

（5）f(x)=cosx,f`(x)=-sinx。

这些规则可以在求导过程中帮助我们快速找出一些较为复杂的

函数的导数。

2.2导数的基本原理

导数作为函数的一个属性，具有一些基本的原理，如：

（1）导数存在充要条件

一个函数在某一点有导数的充要条件是：函数在该点处连续。

（2）导数的唯一性

若函数f(x)在某一点x0处有导数，则其导数值唯一。

（3）连续函数在一段区间内有界

如果函数在区间[a,b]上连续，则在该区间上必有上界和下界。

（4）连续函数在一段区间内达到最大最小值

如果函数在区间[a,b]上连续，则在该区间内必有最大和最小值。

三、求导与导数的应用

3.1求极值

在高中数学中，求函数的最值经常是需要解决的问题。通过求

导，可以轻松地找到函数在哪些点上达到极值（最大值或最小

值）。具体的做法是，将函数的导数等于0或不存在的点作为函

数的可能的极值点，再通过比较函数在这些点处的大小关系，找

到函数的极值。

3.2求曲线的凸凹性

有些题目需要求解曲线的凸凹性，也就是确定它的斜率变化率

的符号。这需要沿用导数和二阶导数（也就是求导的导数）的概

念。具体地，在某一点处：

（1）导数0，函数上升，并且曲线凸（下凸或者说向上翘）。

（2）导数0，函数下降，并且曲线凹（上凸或者说向下翘）。

（3）二阶导数0，函数线性下降并加速，曲线上凸。

（4）二阶导数0，函数线性上升并加速，曲线下凸。

3.3求函数图形的滑动、旋转

对于一些特殊的函数图形，可以通过滑动(x,y)点的位置，改变

函数的图形。比如常用的Sin(x)、Cos(x)、Exp(x)等函数的图像可

以