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2023年全国硕士研究生招生考试（数学一）试卷及其答案解析

一、选择题：1~10小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

1.的斜渐近线为()

A. B.

C. D.

【答案】B.

【解析】由已知，则

，

，

所以斜渐近线为.故选B.

2.若的通解在上有界，则（）.

A. B.

C. D.

【答案】D.

【解析】微分方程的特征方程为.

=1\*GB3①若，则通解为；

=2\*GB3②若，则通解为；

=3\*GB3③若，则通解为.

由于在上有界，若，则=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中时通解无界，若，则=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③中时通解无界，故.

时，若，则，通解为，在上有界.

时，若，则，通解为，在上无界.

综上可得，.

3.设函数由参数方程确定，则().

A．连续，不存在 B.存在，在处不连续

C.连续，不存在 D.存在，在处不连续

【答案】C

【解析】，故在连续.

.

时，；时，；时，，故在连续.

,

,

故不存在.故选C.

4.设，且与收敛，绝对收敛是绝对收敛的（）.

A.充分必要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件

【答案】A.

【解析】由已知条件可知为收敛的正项级数，进而绝对收敛.

设绝对收敛，则由与比较判别法,得绝对收玫;

设绝对收敛，则由与比较判别法，得绝对收敛.故选A.

5.设均为阶矩阵，，记矩阵的秩分别为，则()

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由矩阵的初等变换可得

，故.

，故.

，故.

综上，比较可得B正确.

6.下列矩阵不能相似对角化的是()

A.B.

C.D.

【答案】D.

【解析】由于A.中矩阵的特征值为，特征值互不相同，故可相似对角化.

B.中矩阵为实对称矩阵，故可相似对角化.

C.中矩阵的特征值为，且，故可相似对角化.

D.中矩阵的特征值为，且，故不可相似对角化.

选D.

7.已知向量，，，，若既可由线性表示，也可由线性表示，则()

A．B.

C.D.

【答案】D.

【解析】设，则，对关于的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，

，

解得，故

.

8.设服从参数为1的泊松分布，则（）.

A. B. C. D.

【答案】C.

【解析】方法一由已知可得，，，故

，

故选C.

方法二由于，于是，因此

.

由已知可得，，故

，

故选C.

9.设为来自总体的简单随机样本，为来自总体的简单随机样本，且两样本相互独立，记，，，，则()

A.B.

C.D.

【答案】D.

【解析】由两样本相互独立可得与相互独立，且

，，

因此，故选D.

10.已知总体服从正态分布，其中为未知参数，，为来自总体的简单随机样本，且为的无偏估计，则().

A.B.C.D.

【答案】A.

【解析】由与，为来自总体的简单随机样本，，相互独立，且

，，

因而，令，所以的概率密度为

，

所以

，

又由为的无偏估计可得，，即

，

解得，故选A.

二、填空题：11~16小题,每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.

11．当时，与是等价无穷小，则________.

【答案】

【解析】由题意可知，

，

于是，即，从而.

12.曲面在处的切平面方程为________.

【答案】

【解析】由于在点处的法向量为

，

从而曲面在处的切平面方程为.

13.设是周期为的周期函数，且，则________.

【答案】

【解析】由题意知，

于是.

14.设连续函数满足，，则_________.

【答案】

【解析】

.

15.已知向量，若，则________.

【答案】

【解析】，；

，；

，.

故.

16.设随机变量与相互独立，且则________.

答案】

【解析】

.

三、解答题：17~22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满