自动控制原理第七章1.ppt

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§7.2状态空间模型[例]R-C-L网络如图2所示。e(t)-输入变量,-输出变量。试求其状态空间描述线性定常系统的状态空间表达式为微分方程中包含输入函数的导数项微分方程形式:状态变量选择原则:使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。1.)选择状态变量根据上图,可以这样选择状态变量:2.)求输出方程二.时域解法

状态方程输出方程的解作业:3,4,6,8,9,15,19将该图进行等效变换,就是说,输入u的n阶导数经n个积分器后,以u的倍数形式,进入系统。则状态方程中就可以避免出现u的导数项。有下图:…式中系数是待定系数.整理(2)式得:由结构图可以看出:联立(3)式和(4)式,即可求得状态空间表达式为:输出方程:状态方程:A仍然是友矩阵从中可以看出,状态空间表达式中不含有u的各阶导数了思路:由式(2)可以看出,将y表示成u的各阶导数和x的形式,并代入原始微分方程式(1)中,根据u及其各阶导数的系数相等的原则求解:由式(2)可以得到下式:在结构图中增加一个中间变量:令由式(5)和式(6)可求得:(7)将式(5)和式(7)代入原始微分方程式(1)中,根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到:为便于记忆,将上式写成:[例2]系统输出-输入微分方程为下式,求其状态空间表达式。[解]:系数:按(8)式求得:写出状态空间表达式:说明:这种形式很繁琐,需要记忆的东西太多。解决方法:一般将微分方程转换为传递函数,由传递函数来实现。状态方程:输出方程:3、由传递函数列写状态空间表达式传递函数的实现方式:1)直接分解?2)串联分解3)并联分解例:已知系统的开环传递函数为系统的闭环传递函数为时域方程4、由结构图求动态方程[例]:结构图如下:[关键]:将积分部分单独表述出来,对结构图进行等效变换等效变换如下:x1x2x3图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图:则有:写成矩阵形式:等效变换如下:§7.3状态方程求解(时间响应)线性定常连续系统的状态方程为:,给定初值 和输入,要求确定状态变量的未来的变化。即求出 ----时间响应。频域法时域法一.频域解法状态方程——预解矩阵零状态:∴——传函矩阵,为闭环系统的极点,即为闭环特征方程的特征根。2)MIMO系统,多输入对多输出,故引入传递函数阵G(s),G(s)是一个矩阵,可以表征多个输入对系统输出的影响;1)SISO系统,一输入对一输出,用传递函数G(s)描述,G(s)是一个元素;[说明]:1)dim(G(s))=m×r,其中dim(·)表示·的维数。m是输出维数,r是输入维数。2)G(s)的每个元素的含义:表示第i个输出中,由第j个输入变量所引起的输出和第j个输入变量间的传递关系。3)同一系统,不同的状态空间表达式对应的G(s)是相同的。定义为矩阵指数函数,和A一样也是n×n阶方阵状态转移矩阵线性定常系统的状态转移矩阵——频——时这里用到了拉氏变换的卷积性质:若[例]:若,求:[解]:说明1:状态转移矩阵必须满足以下两个条件,不满足则不是状态转移矩阵。1)状态转移矩阵初始条件:2)状态转移矩阵满足状态方程本身:说明2:对于线性定常系统来说,状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身。说明3:状态转移矩阵的物理意义:从时间角度看,状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换,不断地在状态空间中作转移,故称为状态转移矩阵状态转移矩阵的性质1、对于线性定常系统:说明:此性质的含义是,从t0到t0的转移,相当于不转移,转移后的状态转移矩阵仍是它自己。2、对于线性定常系统:3、对于线性定常系统:传递性说明:此性质表明,从t0到t2的转移可以分为两步:先从t0转移到t1,再从t1转移到t2。不变性4、对于线性定常系统:可逆性说明:此性质表明,状态转移过程在时间上可以逆转。

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