专题突破卷10 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（解析版）.docx

专题突破卷10解三角形中三角形的中线和角平分线问题

题型一：解三角形中三角形的中线问题

1．在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上．

(1)用正弦定理证明；

(2)若，求DE的长．

【答案】(1)证明见解析(2)

【分析】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论；

（2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求.

【详解】（1）由正弦定理知，在中，，

在中，，

由，，

所以，

所以；

（2）在中，由余弦定理可得，

所以，由（1）可得，所以，

因为是边上的中线，所以，

所以.

2．在中，内角所对的边分别是，且，.

(1)求角；

(2)若，求边上的角平分线长；

(3)求边上的中线的取值范围.

【答案】(1)(2)(3)

【分析】（1）根据三角形内角和定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；

（2）依据余弦定理及已知求出，然后利用面积分割法列方程求解即可；

（3）利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

又，所以，

又B∈0,π，所以；

（2）由及余弦定理得，

即，

又因为，所以，

所以，

所以，

即；

（3）因为E是AC的中点，所以，

则，

由正弦定理得，

，

即，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

即边上的中线的取值范围为.

3．已知的内角的对边分别为，且满足．

(1)求B的大小；

(2)若是的中线，求的最小值．

【答案】(1)(2)

【分析】（1）由正弦定理和得到，结合求出；

（2）先求出，在中，由正弦定理得，故当时，求出最小值.

【详解】（1）由正弦定理得，

又，

故，

即，

又，故，

故，，

又，故；

（2）因为，为的中线，

所以，

又，

在中，由正弦定理得，即，

故，

故当时，取得最小值，最小值为.

4．如图，在直角三角形ABC中，AD垂直于斜边BC，且垂足为D．设BD及CD的长度分别为a与b．

(1)求斜边上的高AD与中线AE的长；

(2)用不等式表示斜边上的高AD与中线AE长度的大小关系．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）根据可得答案；

（2）理由基本不等式可得答案．

【详解】（1）因为，，

所以，，，

可得，，

所以，；

；

（2）因为，所以，

当且仅当时等号成立，

即，

5．已知在三角形中，，，，且边，上的中线，交于点.

(1)求的长；

(2)求的值.

【答案】(1)(2)

【分析】（1）利用余弦定理，即可求解；

（2）根据（1）的结果，结合重心的性质，利用余弦定理，即可求解.

【详解】（1）在中，根据余弦定理,

即，得，

所以的长为；

（2）在中，，，，

所以，

点分别是的中点，

所以，，

，，

所以

??

6．在中，内角，，的对边分别为，，，．

(1)若，证明：；

(2)若，是的中线，求的最大值．

【答案】(1)证明见解析(2)

【分析】（1）由正弦定理得，再根据余弦定理有，两者联立即可证明；

（2）首先利用基本不等式和余弦定理得，再利用向量中线长定理有，则可求出的最大值.

【详解】（1）由正弦定理得，即，即，

由余弦定理知和，

得，即，

即，因为，所以.

（2）因为，，所以，

故，当且仅当，即时等号成立，

故；

由是的中线，得，

即得

，

即得，故的最大值为.

7．在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的周长为15，面积为．

(1)求的外接圆面积；

(2)设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．

【答案】(1)(2)答案见解析

【分析】（1）由的面积为，求得，再由的周长为，得到，结合余弦定理，求得，再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解；

（2）若选择①：法1：由，结合向量的运算法则，即可求解；

法2：设，列出方程组求得，结合，列出方程，即可求解；

若选择②，设，求得，根据，列出方程，即可求解；

法2：由，列出方程，即可求解.

【详解】（1）解：由的面积为，可得，解得，

又由的周长为，可得，即，

由余弦定理得

，解得，

设外接圆半径为R，由正弦定理得，所以，

所以的外接圆面积为．

（2）解：若选择①：

法1：由（1）知，及，

由，可得

，

所以，即．

法2：不妨设，由及，解得，

在和中，可得，

由余弦定理得，解得．

若选择②，不妨设，由及，解得，

法1：由，

可得，解得．

法2：由张角定理，得，

即，解得，

8．在①；②；③向量与平行,这三个条件中任选一个,补充在下面题干中,然后解答问题.已知内角的对边分别为,且满足______.

(1)求角；

(2)若为锐角三角形,且,求周长的取值范围；

(3)在（2）条件下,若边中点为,求中线的取值范围.

（注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分