2023-2024学年湖南省怀化市第三中学高三下学期一模数学试题.doc

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2022-2023学年湖南省怀化市第三中学高三下学期一模数学试题

考生须知:

1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数,,则()

A. B. C. D.

2.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为()

A. B. C. D.

3.已知分别为双曲线的左、右焦点,过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点,若,则双曲线的离心率为()

A. B.4 C.2 D.

4.函数的图象大致为()

A. B.

C. D.

5.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“-”当作数字“1”,把阴爻“--”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:

卦名

符号

表示的二进制数

表示的十进制数

000

0

001

1

010

2

011

3

依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是()

A.18 B.17 C.16 D.15

6.已知曲线且过定点,若且,则的最小值为().

A. B.9 C.5 D.

7.已知向量,,若,则()

A. B. C.-8 D.8

8.已知圆与抛物线的准线相切,则的值为()

A.1 B.2 C. D.4

9.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为()

A. B.0 C. D.

10.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()

A. B. C.4 D.5

11.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()

A. B. C. D.

12.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()

A. B. C. D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知数列满足:,,若对任意的正整数均有,则实数的最大值是_____.

14.设(其中为自然对数的底数),,若函数恰有4个不同的零点,则实数的取值范围为________.

15.在三棱锥中,,三角形为等边三角形,二面角的余弦值为,当三棱锥的体积最大值为时,三棱锥的外接球的表面积为______.

16.已知向量,,若,则________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.

18.(12分)已知三点在抛物线上.

(Ⅰ)当点的坐标为时,若直线过点,求此时直线与直线的斜率之积;

(Ⅱ)当,且时,求面积的最小值.

19.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.

(1)求抛物线的方程及点的坐标;

(2)求的最大值.

20.(12分)已知等差数列和等比数列的各项均为整数,它们的前项和分别为,且,.

(1)求数列,的通项公式;

(2)求;

(3)是否存在正整数,使得恰好是数列或中的项?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,说明理由.

21.(12分)已知直线是曲线的切线.

(1)求函数的解析式,

(2)若,证明:对于任意,有且仅有一个零点.

22.(10分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:

(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;

(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;

(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间的概率,根据以往培训数据,规定当时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.

参考答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

分析:利用的恒等式,将分子、分母同时乘以,

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