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例说变式与拓展

习题教学是数学教学的重要组成部分．在习题教学中可通过改变题目的条件，改变题

目的背景，探究题目的一般结论，类比探究同类问题等形式，引导学生对习题进行多角度

的探索．课本习题往往蕴含着丰富的内涵，教师应充分运用习题的各种变式与拓展，培养

学生的探索精神和创新能力．本文以一道课本习题为例进行变式研究和拓展，供同学们参

考．

题目如图1，DE，DF是△ABC的两条中位线．求证：四边形BFED是平行四边形．

此题的证明方法比较简单，此略．

变式1在原题中增加条件AB＝BC，可以得到ED＋EF＝AB的结论．

变式2若将条件和结论互换，命题为真命题吗？

命题1如图2，△ABC为等腰三角形，AB＝BC，点E是边AC上一点，ED＋EF＝

AB，则ED//BC，EF//AB．

命题2点E是△ABC边AC上一点，ED//BC，EF//AB，ED＋EF＝AB，则△ABC

是以AB，BC为腰的等腰三角形．

分析如图2，在BC边上另取一点F，且EFEF，则在AB上必存在一点D，使得

DE＋EF＝BC．但DE与BC不平行，EF与AB不平行，所以命题1为假命题．但命题2

为真命题，理由如下：

变式3若将原题中“边AC上的E点”一般化，是否还存在着某些线段的和或差是定

值呢？如果存在，定值是多少？

(1)如图3，△ABC为边长为a的正三角形，E为其内部一点，过E点分别作ED∥AC，

EG∥AB，EH∥BC，则ED＋EH＋EG＝a．

(2)如图4，△ABC为边长为A的正三角形，点E为△ABC

外一点，过E点分别作ED∥AC，EH//BC，EC//AB，则ED＋EC

－EH＝a．

分析(1)如图3，延长HE交AB于I，延长GE交AC于点

F，易证EC＝BI，EF＝AD，ED＝ID．(2)的证明方法与(1)类似，

不再赘述．

拓展1原题中图形的面积是否有最值呢？

如图5，已知正△ABC的边长为a，过边BC上的E点分别作DE∥AC，EF∥AB交

AB、AC于点D、P问：S有最大值吗？若有，求出它的最大值．

ADEF

□

拓展2原题中图形的面积是否有定值呢？

如图7，已知正△ABC的边长为a，过边BC上的E点分别作DE∥AC、EF∥AB，交

AB、AC于点D、F．G，H分别是△BDE，△EFC的重心，I为AE，DF的交点，则S

△GHI

13

2

＝S＝a．

6△ABC24

拓展3若将拓展2中的条件“正△ABC”改为一般三角形，△GHI的面积还是定值

吗？

如图8，已知△ABC，E为BC边上任意一点，过E点分别作DE∥AC、EF∥AB，交

AB、AC于点D、F．G，H分别是△BDE，AEFC的重心，，为AE，DF的交点，则S

△GHI

1

＝S．

6△ABC

分析过点J作JL⊥FH．由正弦定理，可得