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2023年上期长沙市一中高一期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知是虚数单位，复数，则是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法可化简复数.
【详解】.
故选：A.
2.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出底面半径和高，利用圆锥的体积公式即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，
由?，则，
则圆锥的体积为?.
故选：A
3.为庆祝中国共产党成立100周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色革命精神，践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取高三（???????）
A.5人B.6人C.7人D.8人
【答案】C
【解析】
【分析】利用分层抽样的性质直接求解.
【详解】依题意得：
某高中有高一、高二、高三分别600人、500人、700人，
欲采用分层抽样法组建一个18人的高一、高二、高三的红歌传唱队，
则应抽取高三的人数为：
.
故选：C.
4.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示，边平行于轴，，平行于轴，已知四边形的面积为，则原四边形的面积为（）．
A.12B.C.D.3
【答案】B
【解析】
【分析】由题意结合斜二测画法的法则整理计算即可求得原图形的面积.
【详解】解：设斜二测画法中梯形的上底为长度，下底长度为，，
则梯形面积为：，则，
原平面图形是一个梯形，且上底为长度，下底长度为，高为，
其面积.
故选：B
5.在中，，，，则最长边（）
A.B.C.或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意利用余弦定理直接求解即可
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，，
化简得，解得或，
因为是最长的边，所以，
故选：B
6.要得到函数的图象，需（）
A.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）
B.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）
C.将函数图象上所有点向左平移个单位．
D.将函数图象上所有点向左平移个单位
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故A错误；
将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到
的图象，故B错误；
将函数图象上所有点向左平移个单位得到图象，故C错误；
D.将函数图象上所有点向左平移个单位得到的图象，故D正确.
故选：D.
7.如图，△中，，，为中点，为中点，用和表示为，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、，即可得解.
【详解】因为为中点，为中点，
所以
，
所以，则.
故选：D
8.一个质地均匀的正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体两次，并记录每次正四面体朝下的面上的数字.记事件为“两次记录的数字和为奇数”，事件为“两次记录的数字和大于4”，事件为“第一次记录的数字为奇数”，事件为“第二次记录的数字为偶数”，则（）
A.与互斥B.与对立
C.与相互独立D.与相互独立
【答案】D
【解析】
【分析】列举出基本事件，对四个选项一一判断：
对于A：由事件A与D有相同的基本事件，否定结论；对于B：由事件C与D有相同的基本事件，否定结论；对于C、D：利用公式法进行判断.
【详解】连续抛掷这个正四面体两次，基本事件有：.
其中事件A包括：.
事件B包括：.
事件C包括：.
事件D包括：.
对于A：因为事件A与D有相同的基本事件，故与互斥不成立.故A错误；
对于B：因为事件C与D有相同的基本事件，故C与对立不成立.故B错误；
对于C：因为,,而.因为，所以与不是相互独立.故C错误；
对于D：因为,,而.因为两个事件的发生与否互不影响，且，所以与相互独立.故D正确.
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9.下列有关复数的说法正确的是（）
A.若复数，则B.若，则是纯虚数
C.若是复数，则一定有D.若，则
【答案】AD
【解析】
【分析】A由共轭复数概念及复数相等判断；B、C应用特殊值法，令及判断；D设，，利用共轭复数概念及复数乘法分别求出判断.
【详解】A：令，则，若，即有，故
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