高考数学 立体几何中的折叠和探索性问题(精讲+精练)高考数学高频考点题型归纳与方法总结原卷版.pdf

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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结(新高考通用)

素养拓展27立体几何中的折叠和探索性问题(精讲+精练)

一、知识点梳理

1.折叠问题

解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形,找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化,哪

些发生了变化,在证明和求解的过程中恰当地加以利用。

一般步骤:

①确定折叠前后的各量之间的关系,搞清折叠前后的变化量和不变量;

②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系,明确需要用到的线面;

③利用判定定理或性质定理进行证明。

2.探索性问题

探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立,立体几何中的探究性问题既能够考查学生

的空间想象能力,又可以考查学生的意志力及探究的能力。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析

法、特殊化法和向量法来解决.一般此类立体几何问题描述的是动态的过程,结果具有不唯一性或者隐藏

性,往往需要耐心尝试及等价转化,因此,对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的。

二、题型精讲精练

SBADCABCDBC2ABSBSCBCSABCD

如图所示的五边形中是矩形,,,沿折叠成四棱锥,

【典例1】

MBCSM2

点是的中点,.

56

(1)在四棱锥SABCD中,可以满足条件①SA6;②cosSBM;③sinSAM,请从中任选

53

两个作为补充条件,证明:侧面SBC底面ABCD;(注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计

分.)

SCSAD

在()的条件下求直线与平面所成角的正弦值.

(2)1

【分析】(1)选条件①②,利用勾股定理得到SMMA,进而得到SM底面ABCD,利用面面垂直的判定

定理即可得证;

选条件①③,利用正弦定理得到SMMA,进而得到SM底面ABCD,利用面面垂直的判定定理即可得证;

选条件②③,利用余弦定理和勾股定理得到SMMA,进而得到SM底面ABCD,利用面面垂直的判定定

理即可得证;

(2)由(1)可得SM平面ABCD,建立空间直角坐标系,利用空间向量法计算可得.

【详解】()证明:()方案一:选条件①②.

11

SABCDSBSCMBCSM2SMBC

因为在四棱锥中,点是的中点,,所以,

5

又因为在RtSBM中,cosSBM,所以BM1,

5

又因为ABCD是矩形,BC2AB,所以BMAB1,AM2,

由可得222,所以SMAM,

SA6,AM2,SM2SAAMSM

SMBCSMAMAMBCMAM,BCABCDSMABCDSM

则由,,,平面,所以平面,又因为

侧面SBC,所以侧面SBC底面ABCD;

方案二:选条件①③.

SABCDSBSCMBCSM2

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