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专题24最值模型之将军饮马模型
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗,由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。将军饮马问题从本质上来看是由轴对称衍生而来,同时还需掌握平移型将军饮马,主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主,本专题就将军饮马问题进行梳理及对应试题分析,方便掌握。
在解决将军饮马模型主要依据是:两点之间,线段最短;垂线段最短;涉及的基本方法有:利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值(将军饮马模型)
【模型解读】在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
(1)点A、B在直线m两侧:(2)点A、B在直线同侧:
【最值原理】两点之间线段最短。上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1.(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图,是边长为的等边三角形,点为高上的动点.连接,将绕点顺时针旋转得到.连接,,,则周长的最小值是.
??
【答案】/
【分析】根据题意,证明,进而得出点在射线上运动,作点关于的对称点,连接,设交于点,则,则当三点共线时,取得最小值,即,进而求得,即可求解.
【详解】解:∵为高上的动点.∴
∵将绕点顺时针旋转得到.是边长为的等边三角形,
∴∴
∴,∴点在射线上运动,如图所示,
??
作点关于的对称点,连接,设交于点,则
在中,,则,
则当三点共线时,取得最小值,即
∵,,∴∴
在中,,
∴周长的最小值为,故答案为:.
【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题,等边三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,勾股定理,熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.
例2.(2023·广东广州·校考一模)如图,在C中,的面积为,,平分,E、F分别为、上的动点,则的最小值是()
A. B. C.2 D.
【答案】D
【分析】本题考查的是角平分线的性质,垂线段最短,解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考,通过角平分线性质,垂线段最短,确定线段和的最小值.过点C作,垂足为H,交于F点,过F点作,垂足为,则为所求的最小值,根据的面积为,,结合三角形的面积公式求出,即可解答.
【详解】解:如图,过点C作,垂足为H,交于F点,过F点作,垂足为,则为所求的最小值,
∵是的平分线,∴,∴是点C到直线的最短距离(垂线段最短),
∵的面积为,,∴,
∵的最小值是.故选:D.
例3.(2023·广东广州·统考中考真题)如图,正方形的边长为4,点E在边上,且,F为对角线上一动点,连接,,则的最小值为.
??
【答案】
【分析】连接交于一点F,连接,根据正方形的对称性得到此时最小,利用勾股定理求出即可.
【详解】解:如图,连接交于一点F,连接,
??
∵四边形是正方形,∴点A与点C关于对称,∴,
∴,此时最小,
∵正方形的边长为4,∴,∵点E在上,且,
∴,即的最小值为故答案为:.
【点睛】此题考查正方形的性质,熟练运用勾股定理计算是解题的关键.
例4.(2022·内蒙古赤峰·统考中考真题)如图,菱形,点、、、均在坐标轴上,,点,点是的中点,点是上的一动点,则的最小值是(????)
A.3 B.5 C. D.
【答案】A
【分析】直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小属“将军饮马”模型,由D关于直线AC的对称点B,连接BE,则线段BE的长即是PD+PE的最小值.
【详解】如图:连接BE,∵菱形ABCD,∴B、D关于直线AC对称,
,
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值.
∵菱形ABCD,,点,∴,,
∴∴△CDB是等边三角形∴
∵点是的中点,∴,且BE⊥CD,∴故选:A.
【点睛】本题考查菱形性质及动点问题,解题的关键是构造直角三角形用勾股定理求线段长.
例5.(2023·辽宁盘锦·统考中考真题)如图,四边形是矩形,,,点P是边上一点(不与点A,D重合),连接.点M,N分别是的中点,连接,,,点E在边上,,则的最小值是(????)
??
A. B.3 C. D.
【答案】C
【分析】根据直线三角形斜边中线的性质可得,,通过证明四边形是平行四边形,可得,则,作点C关于直线的对称点M,则,点B,P,M三点共线时,的值最小,最小值为.
【详解】解:四边形是矩形,,,
点M,N分别是的中点,,,,,
,,,又,四边形是平行四边形,
,,
如图,作点C关于直线的对称点M,连接,,则,
??
当点B,P,M三点共线时,的值最小,最小值为,
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