专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（定理）模型（解析版）.docxVIP

专题34圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、

婆罗摩笈多（定理）模型

圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型

【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如图1所示，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，BCAB，M是的中点，则从M向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD。

图1图2图3图4

常见证明的方法：

1）补短法：如图2，如图，延长DB至F，使BF=BA；

2）截长法：如图3，在CD上截取DG=DB；

3）垂线法：如图4，作MH⊥射线AB，垂足为H。

例1．（2023·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中点，MF⊥AB于F，则AF＝FB+BC．

如图2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圆于E，连接EA，则∠EAC＝°．

【答案】60°．

【分析】连接OA、OC、OE，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E为弧ABC的中点，即,进而推得∠AOE＝∠COE，已知∠ABC＝60°，则∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，可知∠AOE＝∠COE＝120°，故∠CAE＝∠COE＝60°.

【详解】解：如图2，连接OA、OC、OE，

∵AB＝8，BC＝6，BD＝1，∴AD＝7，BD+BC＝7，∴AD＝BD+BC，而ED⊥AB，

∴点E为弧ABC的中点，即，∴∠AOE＝∠COE，

∵∠AOC＝2∠ABC＝2×60°＝120°，∴∠AOE＝∠COE＝120°，

∴∠CAE＝∠COE＝60°．故答案为60°．

【点睛】本题是新定义型题，考查了圆周角定理及推论，解本题的关键是掌握题中给出的关于阿基米德折弦定理的内容并进行应用.

例2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图1发现了阿基米德折弦定理．如图2，已知BC为⊙O的直径，AB为一条弦(BCAB)，点M是上的点，MD⊥BC于点D，延长MD交弦AB于点E，连接BM，若BM=，AB=4，则AE的长为(????)

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，可得BF=BM，∠BMF=∠BFM=∠FAB，从而可得△BFA∽△BEF，利用相似三角形的性质列式可求BE的长度，从而可求得AE的长度．

【详解】解：延长ME，设交圆于点F，连接BF、AF，如图，

∵BC为⊙O的直径，MD⊥BC于点D，∴MB=FB=，∠BMF=∠BFM

又∠BMF=∠FAB∴∠BFM=∠FAB∴∠BFE=∠FAB

∵∠EBF=∠FBA∴△BFA∽△BEF∴即∴BE=∴AE=4-=故选：A．

【点睛】本题考查垂径定理及三角形相似的判定和性质，解题的关键是准确做出辅助线，得出三角形相似．

例3．（2023上·河南周口·九年级校考期末）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图，和是的两条弦（即折线是弦的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程

证明：如图2，在上截取，连接，，和

是弧的中点，

∴，

……

(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)实践应用：如图3，内接于，，是弧的中点，于点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为______.

(3)如图4，等腰内接于，，为弧上一点，连接，，，，求的周长.

【答案】(1)见解析(2)(3)

【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可证明结论；（2）直接根据阿基米德折弦定理，即可证明结论；

（3）过点作，根据阿基米德折弦定理，勾股定理求得，即可得出结论．

【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接，，和．

是的中点，．

在和中，，，

又，，．

（2）解：根据（1）中的结论可得图中某三条线段的等量关系为

故答案为：．

（3）解：如图所示，过点作，

由阿基米德折弦定理得：，

∵∴∴，

∴的周长为

【点睛】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，理解“截长法”是解答本