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专题03椭圆13种常见考法归类
思维导图
核心考点聚焦
考点一、求椭圆的标准方程
考点二、点与椭圆的位置关系
考点三、椭圆的定义及其应用
(一)根据椭圆的方程求参数的范围
(二)椭圆的焦点三角形问题
考点四、求椭圆的离心率
(一)求椭圆的离心率
(二)求椭圆的离心率的取值范围
(三)由椭圆的离心率求参数(范围)
考点五、与椭圆有关的轨迹问题
考点六、直线与椭圆的位置关系
考点七、弦长及中点弦问题
(一)弦长问题
(二)中点弦问题
考点八、求椭圆的参数或范围问题
考点九、求椭圆的最值问题
考点十、椭圆的定点、定值问题
考点十一、椭圆中的向量问题
考点十二、椭圆的实际应用问题
考点十三、与椭圆有关的综合问题
知识点1椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注:在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量.
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆.
①若,M的轨迹为线段;
②若,M的轨迹无图形
知识点2椭圆的方程及简单几何性质
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)
eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)
范围
-a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),_B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
轴长
长轴长=eq\a\vs4\al(2a),短轴长=eq\a\vs4\al(2b)
焦点
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
焦距
|F1F2|=eq\a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴,对称中心(0,0)
离心率
e=eq\f(c,a)(0e1)(注:e=eq\r(1-\f(b2,a2))=eq\r(\f(1,1+\f(b2,c2))).)
知识点3椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
以椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)上一点P(x0,y0)(y0≠0)和焦点F1(-c,0),F2(c,0)为顶点的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,则
(1)椭圆的定义:|PF1|+|PF2|=2a.
(2)余弦定理:4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cosθ.
(3)面积公式:S△PF1F2=eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ,当|y0|=b,即P为短轴端点时,S△PF1F2取最大值,为bc.
重要结论:S△PF1F2=
推导过程:由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cosθ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注:S△PF1F2===(是三角形内切圆的半径)
(4)焦点三角形的周长为2(a+c).
(5)在椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)中,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意的一点,当点P在短轴端点时,最大.
知识点4点与椭圆的位置关系
点P(x0,y0)与椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)的位置关系:
点P在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)=1;点P在椭圆内部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)1;点P在椭圆外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)+eq\f(y\o\al(2,0),b2)1.
知识点5直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(ab0)的位置关系,判断方法:
联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=kx+m,,\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1,))消y得一元二次方程.
当Δ0时,方程有两解,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,方程有一解,直线与椭圆相切;
当Δ0时,方程无解,直线与椭圆相离.
知识点6直线与椭圆相交的弦长公式
1.定义:连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.
2.求弦长的方法
(1)交点法:将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求.
(2)根与系数的关系法:
如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦
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