专题03 椭圆13种常见考法归类（解析版）.docxVIP

专题03椭圆13种常见考法归类

思维导图

核心考点聚焦

考点一、求椭圆的标准方程

考点二、点与椭圆的位置关系

考点三、椭圆的定义及其应用

(一)根据椭圆的方程求参数的范围

(二)椭圆的焦点三角形问题

考点四、求椭圆的离心率

(一)求椭圆的离心率

(二)求椭圆的离心率的取值范围

(三)由椭圆的离心率求参数(范围)

考点五、与椭圆有关的轨迹问题

考点六、直线与椭圆的位置关系

考点七、弦长及中点弦问题

(一)弦长问题

(二)中点弦问题

考点八、求椭圆的参数或范围问题

考点九、求椭圆的最值问题

考点十、椭圆的定点、定值问题

考点十一、椭圆中的向量问题

考点十二、椭圆的实际应用问题

考点十三、与椭圆有关的综合问题

知识点1椭圆的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题

(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．

(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．

①若，M的轨迹为线段；

②若，M的轨迹无图形

知识点2椭圆的方程及简单几何性质

焦点的位置

焦点在x轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)

范围

－a≤x≤a且－b≤y≤b

－b≤x≤b且－a≤y≤a

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0),_B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a),B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长

长轴长＝eq\a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq\a\vs4\al(2b)

焦点

F1(－c,0)，F2(c,0)

F1(0，－c)，F2(0，c)

焦距

|F1F2|＝eq\a\vs4\al(2c)

对称性

对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)

离心率

e＝eq\f(c,a)(0e1)（注：e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\r(\f(1,1＋\f(b2,c2))).）

知识点3椭圆的焦点三角形

椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．

以椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则

(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.

(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.

(3)面积公式：S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.

重要结论：S△PF1F2=

推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ得

由三角形的面积公式可得

S△PF1F2=

=

注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）

(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

(5)在椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.

知识点4点与椭圆的位置关系

点P(x0，y0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系：

点P在椭圆上?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1；点P在椭圆外部?eq\f(x\o\al(2,0),a2)＋eq\f(y\o\al(2,0),b2)1.

知识点5直线与椭圆的位置关系

直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的位置关系，判断方法：

联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．

当Δ0时，方程有两解，直线与椭圆相交；

当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；

当Δ0时，方程无解，直线与椭圆相离．

知识点6直线与椭圆相交的弦长公式

1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．

2．求弦长的方法

(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．

(2)根与系数的关系法：

如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦