专题06 等差数列及其前n项和8种常见考法归类（原卷版） .docxVIP

专题06等差数列及其前n项和8种常见考法归类

思维导图

核心考点聚焦

考点一、利用定义及前n项和求等差数列的通项公式

(一)利用定义求通项

(二)利用前n项和求通项

考点二、等差数列的基本量的计算

(一)等差数列通项公式及其应用

(二)等差数列前n项和的有关计算

(三)与数学文化的结合

考点三、等差数列的判定与证明

考点四、等差数列性质的应用

(一)等差中项的应用

(二)利用等差数列性质计算及应用

考点五、等差数列前n项和的性质

(一)等差数列前n项和与中项性质

(二)等差数列片段和的性质

(三)等差数列前n项和与n的比值问题

(四)两个等差数列前n项和的比值问题

考点六、等差数列前n项和的最值问题

考点七、等差数列偶数项和奇数项和与绝对值问题

(一)等差数列偶数项或奇数项的和

(二)含绝对值的等差数列的前n项和

考点八等差数列的综合问题

知识点1等差数列的有关概念

1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.

注：(1)要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．

(3)等差数列（通常可称为数列）的单调性：在公差为d的等差数列{an}中：①d＞0?{an}为递增数列；②d＝0?{an}为常数列；③d0?{an}为递减数列.

2.等差数列的通项公式：；?当d≠0时，an是关于n的一次函数模型．

等差数列通项公式的变形及推广

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则

①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，

②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，

③d＝eq\f(an－am,n－m)(m，n∈N*，且m≠n)．

其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．

②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.

③可用来由等差数列任两项求公差．

3.从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，

则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d?；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.

4.等差中项的概念：

定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中.

，，成等差数列.

注：在等差数列{an}中，从第二项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即{an}成等差数列?an＋1＋an－1＝2an?n≥2?.

知识点2等差数列的四种判断方法

(1)定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；

(2)等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;

(3)通项公式：(为常数,)?是等差数列;

(4)前项和公式：(为常数,)?是等差数列;

(5)是等差数列?是等差数列.

提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.

知识点3等差数列的性质

（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；

（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，SKIPIF10时，则SKIPIF10，SKIPIF10是SKIPIF10的等差中项.

（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；

（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列

（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．

（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．

知识点4等差数列的前n和公式

已知量

首项，末项与项数

首项，公差与项数

求和公式

Sn＝eq\f(n?a1＋an?,2)

Sn＝na1＋eq\f(n?n－1?,2)d

注：（1）等差数列的前n和公式的推导

对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法)

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，,Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，))

?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝a1＋a1＋d＋a1＋2d＋…＋a1＋?n－1?d，,Sn＝an＋an－d＋an－2d＋…＋an－?n－