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第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及性质3.路积分的计算例题1计算积分(重要结论)例题2沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从0到B的定积分。例题3沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Cz2dz从O到B的定积分。例题4沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫CRe(z)dz从O到B的定积分。例题5沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z-1dz从A到D的定积分。第二节哥西积分定理及推广积分规律的探究归纳如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定。一、哥西积分定理∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)二、哥西积分定理推广推广规律：闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有内边界线逆时针积分之和。例题计算积分三、不定积分1.不定积分原函数概念上限为变量的路积分称为不定积分2.性质1.设F(z)是f(z)的原函数，则F’(z)=f(z)2.如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成F(z)=∫f(z)dz第三节哥西积分公式及推广1.哥西积分公式哥西公式推广公式哥西公式推广意义解析函数的整体性：边界值完全决定内部值；解析函数的可导性：一次可导=无限次可导。应用理论上模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值；刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。计算上简化路积分的计算。应用举例例1问题：计算回路积分例2问题：计算回路积分例3问题：计算回路积分性质平均值定理模的最大原理哥西不等式本章小结路积分复变函数的路积分可分解为2个线积分；一般情况下，路积分与积分路径有关；**一、复变积分的定义1.定义3.1曲线、围线、正向、反向2.性质方法1：∫Cf(z)dz=方法2：∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(eiφdr+ireiφdφ)=∫Ceiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]方法3：∫Cf(z)dz=思路：化复为实∫C(u+iv)(dx+idy)=∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)∫Cf[z(t)][dx(t)+idy(t)]=∫Cf[z(t)][x’(t)+iy’(t)]dt=∫Cf[z(t)]z’(t)dt解：C为a为中心ρ为半径的圆周注：结果与半径ρ无关解：注：结果与路径无关解：解：解：证明定理3.1（见教材）猜想如果函数f(z)在闭单连通区域D上解析，则沿D上任一分段光滑闭合曲线l的路积分有：=∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)由C-R条件和实函数的柯西公式，积分结果与路径无关。统一表述1、解析函数沿所有边界线正向积分为零；公式2、起点和终点固定时，积分路径在解析区域中连续变形不改变路积分的值。解：如a不在L内，I=0当a在L内时，如n≥0，I=0；如n0，可以用哥西定理的推广在D上定义了一个单值解析函数，称为f(z)的原函数。原函数概念如f(z)在单连通区域D上解析，则不定积分3.求原函数在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同，形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数情况完全类似。例如:∫zndz=zn+1/(n+1)∫cos(z)dz=sin(z)∫sin(z)dz=-cos(z)∫exp(z)dz=exp(z)公式：如f(z)在单连通闭区域D上解析，C为D的边界线，z为D内的任意一点，则证明：推广：分析：与哥西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由哥西公式分析：与推广的哥西公式比较，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1解：由推广的哥西公式哥西公式推广例题分析：与哥西公式比较，可知f(z)=，a=例4问题：计算回路积分分析：哥西定理在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定；在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。哥西公式*