4第四章 解析函数的幂级数表示.pptVIP

第四章解析函数的幂级数表示幂级数展开复级数幂级数和解析函数双边幂级数和罗朗展开孤立奇点本章小结第一节函数项级数的基本性质一、复数项级数二、收敛性判别法对级数∑i=1ui三、复函数项级数复函项级数形式：f(z)=∑i=0fi(z)收敛域：{z|s(z)存在}定义：存在m0,取N(m,z),当nN(m,z),有|s(z)-sn(z)|m四、复函数项级数一致收敛性质第二节幂级数和解析函数一、幂级数形式：f(z)=∑n=0cnzn收敛域：T=limn→∞|cn+1zn+1/cnzn|=|z|/R这里R=limn→∞|cn/cn+1|T1即|z|R，绝对收敛；T=1即|z|=R，不确定；T1即|z|R，发散。二、解析函数的幂级数表示三、展开方法例2：在a=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。2.扩展方法（用性质）例4：在a=0的邻域上把f(z)=ln(1-z)展开。第三节罗朗展开一、基本概念罗朗展开举例例1：在|z|0的区域上把f(z)=cosh(z)/z展开。解答：cosh(z)=∑n=0z2n/(2n)!cosh(z)/z=∑n=0z2n-1/(2n)!例3：以a=0为中心把f(z)=1/[z(z-1)]展开。第四节单值函数的孤立奇点一、基本概念1.奇点：定义：函数的非解析点；如：1/z,1/(z-2)3.孤立奇点的三种类型a.可去奇点：无负幂项，无主要部分；b.(m阶)极点：有限个负幂项（主要部分）(最高为m次)；c.本性奇点：无限多个负幂项；b.(m阶)极点：（1）有限个负幂项（主要部分），(最高为m次),即∑n=1mc-n(z-a)-n；(2)可表示成个g(z)/(z-a)m；（3）极限为(m阶)无穷大，称为(m阶)极点，例如1/zm；或1/f(z)为(m阶)零点。c.本性奇点（1）无限多个负幂项（主要部分），(最高为无穷大幂次),即∑n=1∞c-n(z-a)-n；(2)limz→af(z)不存在（不趋于定值也不趋于无穷）。z=∞点为(m阶)极点：（1）∑n=0mcn(z-a)n；(2)可表示成个g(z)zm；（3）极限为(m阶)无穷大，称为(m阶)极点；或1/f(z)为(m阶)零点。z=∞点为本性奇点：（1）∑n=0∞cn(z-a)n；(2)limz→∞f(z)不存在（不趋于定值也不趋于无穷）。**形式：∑i=0∞ui通项：ui为复数部分和：sn=u0+u1+u2+…+un和：s=limn→∞sn余项：rn=s-sn=un+1+un+2+…收敛：s存在绝对收敛定义：s=∑i=0∞|ui|收敛性质：绝对收敛=收敛方法1.比值法T=limk→∞|uk+1/uk|方法2.根值法S=limk→∞|uk|1/kT1，绝对收敛；T=1，不确定；T1，发散。S1，绝对收敛；S=1，不确定；S1，发散。例：判断几何级数的敛散性∑n=0a0qn解：1.比值法T=|q||q|1，绝对收敛；|q|=1，不确定；|q|1，发散。2.根值法S=|q|limk→∞|a0|1/k=|q||q|1，绝对收敛；|q|=1，不确定；|q|1，发散。通项：fi(z)部分和函数：sn(z)=∑i=0nfi(z)和函数：s(z)=limn→∞sn(z)一致收敛性(定义4.1)定义：存在m0,取N(m),当nN(m),有|s(z)-sn(z)|m定义4.2若|fn(z)|≤Mn，称强级数∑n=0Mn,Mn为正常数。M判定法：若强级数∑n=0Mn收敛，则∑n=0fn(z)一致收敛，且绝对收敛。定理4.2：沿曲线C,一致收敛且各项连续则和的积分=各项积分之和(逐项可积)；定理4.3：在D上，各项解析且内闭一致收敛，则和的导数=各项导数之和，(逐项可导至任意阶，且一致收敛)。定理4.1：在D上，一致收敛且各项连续则和连续；收敛域：T=limn→∞|cn+1zn