8第八章 热传导方程.pptVIP

二、热导方程的初值问题定解问题其中为已知函数.分析:已知一无限长细杆在初始时刻的温度分布,求其以后的温度分布.解:(分离变量法)令则为常数.有ⅰ时,将随的增加而增加,所以不合理.ⅱ,设,则⑴当时,为积分常数,必须因为,会无界，所以⑵当时,,与,无关，取所有实数,解的叠加只能积分.而由Fourier积分有:而∴解的物理意义:由初始温度引起热源引起的温度分布的叠加.的温度分布可看作由各个瞬间点的一个小单元，函数在该区间内为常数，而区间外恒为0.说明:①取在单位横截面积细杆上取点附近物理上:在初始时刻,这个表示吸取了热量使这一段温度为杆上的分布由,此后温度在细给出.②取上式为:*第八章热传导方程的付氏解一、热传导方程的导出截面积为A的均匀细杆,侧面绝热,沿杆长方向有温差,求热量的流动.1.物理模型§8.1热传导方程xx+dxA①热传导:由于温度分布不均匀产生的热传递现象.热量：面积：体积：时间：密度：温度：Axx+dxAx②比热:单位物质温度升高一度③热流密度:单位时间流过单位面积的热量(Fourier实验定律):导热率所需热量.T2.研究建立方程时间热量情况取轴与细杆重合,表示在点时刻的温度.考虑任一段在①流入面:xx+dxAx②流出面:③段温度要升高所吸收的热量,故④根据能量守恒定律流入段总热量与段中热源产生的热量:即hh化简:两边同除以当,则hh一维热传导方程为:其中:a2a2一维非齐次热传导方程为:其中:a2三维热传导方程为:二维热传导方程为:0a2a2扩散方程物理模型一充满清水的玻璃管.如果一端滴一滴红墨水,则红墨水的分子就要向另一端扩散.渗透半导体之间的锑扩散,硼扩散,磷扩散.二、定解条件物体上初始时刻的温度分布边界上温度，热交换情形⒈初始条件⒉边界条件提法有三种ⅰ.第一类边界条件:直接给出物理量在边界上的数值(边界上各点的温度).ⅱ.第二类边界条件:研究物理量在边界外法线方向上方向导数的数值.物理意义:把细杆端点处,既无热量流出去,又处的截面用一种定点绝热的物质包裹起来,使得在端点无热量流进来.已知通过细杆端点的热量,特殊情形如绝热条件。ⅲ.第三类边界条件:物理量与外法向导数的线性组合.已知杆端与某种介质接触,它们之间按热传导中的牛顿实验定律进行热交换,相应的边界条件为：:热导系数:热交换系数一、定解问题：有界杆的热传导现象其中为已知函数.8.2混合问题的付氏解法第一步：分离变量ⅰ.设热导方程具有如下分离变量解其中是常数.于是有ⅱ.将其代入泛定方程有ⅲ、由边界条件有当,则当,则即本征值问题上章已经证明只有当ⅰ.时,该本征值问题有非零解.第二步：求解本征值问题ⅱ.由，即特征值是，ⅲ.本征函数是第三步:求特解,并叠加出一般解又由,,得两边积分得：其中是积分常数.于是故一般解为：第四步：确定叠加系数由初始条件有两端同乘以,逐次积分有将等在上展成Fourier级数,再让区间无限扩大。上节求解混合问题时,空间坐标如考虑无界杆的热传导,如何？变动区间为,8.3初值问题的付氏解法结果：在一定条件下,Fourier级数变成一个积分形式,称为Fourier积分。一、Fourier积分设定义在内,且在任一有限区间上分段光滑,则展开成Fourier级数可其中:现设在上绝对可积,即则当时,若记:,,,,则上式写成可以证明：及的连续点处,的付氏积分收敛于它在该点处的函数值。称为的Fourier积分.其中,它是关于的偶函数.Fourier积分还可写为其中