9第九章 Laplace方程的 Dirichlat问题.pptVIP

第九章Laplace方程的Dirichlat问题前面讨论的热传导方程现象和扩散现象，都是随着时间的变化的，有一种特殊情况，而它们已经处于稳定状态，或者变化相当小，以致可以看成与时间无关，这时，引言对于稳定的二维或三维热传导方程或扩散方程有或9.1Laplace方程及其边值问题称为Laplace方程或调和方程.（二维）一、Laplace方程用来描述稳定场过程二、Laplace方程在不同的坐标系下的形式1.直角坐标系下2.平面极坐标系下的Laplace方程说明：圆对称坐标下u关于圆点对称，即u不依赖于三、Laplace方程圆的Dirichlet问题----极坐标系下的分离变量法一.定解问题平面极坐标系下其中:为已知函数，且有对应物理模型：一半径为的无限长圆柱，对称轴为z轴，假设在柱的表面上温度不随时间而改变，则过一段时间后，在圆柱的每一点处，温度稳定下来而与t无关。再没热的传导。与z坐标无关，这时间内的温度函数满足二.求解（分离变量法）1.分离变量法设原方程有如下形式分离变量解带入方程有其中为常数，2.求解本征值问题从而得到两个常微分方程对分别讨论得3.求解关于R的问题对分别讨论，对欧拉型方程，可令求解。结果为要求则则则则利用边界条件例.求解下列问题:(其中A为已知常数)例：Poisson方程第一边值问题的解法----观察法（试探法）例：求解取可令则例：求解取可令9.2一.函数的引入1.物理背景（1）质点模型：总质量为1，集中在处，则密度：函数满足以上关系的量在物理上不少，如点电荷、点热源等，以及物理上集中的量，再如单位（点）电荷：物理上的抽象模型：质点、点电荷、瞬时量等.2.定义:量纲二、函数的性质2.或对一个连续函数有:1.3.4.其中H(x)称为亥维赛函数，阶跃函数为偶函数.