专题8.2 空间中的平行和垂直关系（原卷版）.docx

专题8.2空间中的平行和垂直关系

题型一

线面平行、面面平行的判定定理

题型二

补全平行的条件

题型三

线面平行、面面平行的性质定理

题型四

线面垂直、面面垂直的判定定理

题型五

补全垂直的条件

题型六

线面垂直、面面垂直的性质定理

题型七

判断平行，垂直的有关命题

题型八

平行，垂直的综合应用

题型一 线面平行、面面平行的判定定理

例1．（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥中，，、分别是、的中点，底面ABCD，且

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(1)证明：平面；

(2)若，求三棱锥的体积．

例2．（2023春·江苏盐城·高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

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(1)求证：平面平面BEF；

练习1．（2022春·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

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(1)求证：平面；

练习2．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）如图,四棱锥中,底面为的中点.

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(1)若点在上,,证明:平面;

练习3．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考阶段练习）如图，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点.

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(1)设过三点的平面为，求证：平面平面；

(2)求四棱锥与三棱锥的体积之比.

练习4．（2023·四川·校联考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，为棱的中点，与交于点为的重心.

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(1)求证：平面；

练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知点，分别是正方形的边，的中点.现将四边形沿折起，如图所示.若点，分别是，的中点，求证：平面.

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题型二 补全平行的条件

例3．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.

(1)证明：AF平面；

(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.

例4．（2023·贵州毕节·统考模拟预测）三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示.

(1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明；

练习6．（2023·浙江·校联考三模）如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点.

(1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值；

练习7．（2023春·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱上的点，点是线段上的动点，．

(1)当点M在何位置时，平面?

练习8．（2022秋·安徽合肥·高二校考学业考试）如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，.

(1)求证：平面；

(2)若为的中点，试在上确定一点，使得平面平面，并说明理由.

练习9．（2023春·福建厦门·高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边形所在平面外一点，M、N分别是的三等分点（M靠近B，N靠近C）；

(1)求证：平面．

(2)在上确定一点Q，使平面平面．

练习10．（2021秋·河南·高三校联考开学考试）如图，在三棱锥中，底面，.点分别为棱的中点，是线段的中点，，.

(1)证明：平面平面；

(2)已知点在上，且平面平面，求线段的长.

题型三 线面平行、面面平行的性质定理

例5．（2023春·高二课时练习）如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC＝∠ADB＝90°，CD＝1，BC＝2，DF＝1．

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(1)求证：BE∥平面DCF；

例6．（2023春·福建泉州·高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体中，截面是正方形，则下列判断正确的是（????）

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A． B．平面

C． D．点B，D到平面的距离不相等．

练习11．（2023·北京海淀·校考三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．

(1)求证：；

练习12．（2023·重庆万州·统考模拟预测）如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．

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(1)若平面平面，证明：；

练习13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为平行四边形．设平面PAD与平面PBC的交线为l，M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．

(1)求证：平面MNQ∥平面PAD；

(2)求证：BC∥l．

练习14．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形平面，平面与棱交于点G．求证：；

练习15．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面.若点为线段中点，求证：；

题型四 线面垂直、面面垂直的判定定理

例7．（2023春·浙江杭州·高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，．

(1)求