理科数学-2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03（答案及评分标准）.docx

2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）03

理科数学·答案及评分标准

1．D

2．C

3．C

4．A

5．B

6．D

7．C

8．C

9．B

10．A

11．A

12．B

13．40

14．或

15．2

16．

17．【详解】（1）由已知，∵，∴，

∵，

∴，（3分）

又∵，∴，（4分）

∴易知数列中任意一项不为，∴，（5分）

∴数列是首项为，公比为的等比数列.（6分）

（2）由第（1）问，，∴，

∴设数列的前项和为，则

①，

①得，

②，（7分）

①②得，

，（9分）

∴，（10分）

∴.（11分）

∴数列的前项和为.（12分）

18．【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，

则在抽取的人中，“足球迷”有人，

所以列联表如下（表格2分）

非足球迷

足球迷

合计

女

70

男

40

合计

所以，（4分）

所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（5分）

（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为（6分）

所以从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，所以，

即的可能取值为、、、、，（7分）

所以，，

，，

，（10分）

所以随机变量的分布列为

（11分）

所以.（12分）

19．【详解】（1）证明：连接OB，

因为为等腰直角三角形，，，

所以，（1分）

因为O为AC边的中点，

所以，

在等边三角形中，，

因为O为AC边的中点，

所以，（2分）

则，（3分）

又，

所以，即，（4分）

因为，平面，平面，

所以平面．（5分）

??

（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，

所以，

由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，

??

则，，，（建系正确给1分，7分）

所以，，

设平面的法向量为，

由，得，令，得，（9分）

易知平面的一个法向量为，（10分）

设二面角的大小为θ，

则，（11分）

由图可知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．（12分）

20．【详解】（1）设动圆与圆相切的切点为，

则，（2分）

所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

设椭圆的方程为，

则，，所以，（3分）

所以椭圆的方程为，

即点的轨迹的方程为．（4分）

??

（2）由题意可知直线的斜率显然不为0，

不妨设直线的方程为，设，，则，

联立，消去整理得，（5分）

所以，，（6分）

因为，，三点共线，所以，（7分）

所以，（8分）

即，

所以，解得，（11分）

故直线的方程为，所以直线过定点．（12分）

??

21．【详解】（1）解：函数的定义域为，.（1分）

①当时，令，得，则在上单调递减；

令，得，则在上单调递增.（3分）

②当时，令，得，则在上单调递减；

令，得，则在上单调递增.（5分）

综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.（5分）

（2）证明：因为为的两个零点，所以，，（6分）

两式相减，可得，即，，（7分）

因此，，.（8分）

令，则，（9分）

令，则，（10分）

所以函数在上单调递增，所以（11分）

即.