专题03 导数及其应用（选填题）（文科）（解析版）.docx

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题03导数及应用（选填小题）

函数导数应用是高考必考知识点

考点01利用导数求函数单调性，极值最值

1．（2023年全国新高考Ⅱ卷数学）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（????）．

A． B．e C． D．

【答案】C

【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．

【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，

设，所以，所以在上单调递增，

，故，即，即a的最小值为．

故选：C．

2．（2023年全国高考乙卷数学（文）试题）函数存在3个零点，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】，则，

若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则，

令，解得或，

且当时，，

当，，

故的极大值为，极小值为，

若要存在3个零点，则，即，解得，故选：B.

3．（2023年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线在点处的切线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.

【详解】设曲线在点处的切线方程为，

因为，所以，

所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C

4．（2022年全国高考甲卷数学（文）试题）当时，函数取得最大值，则（????）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．

【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.

5．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设，若为函数的极大值点，则（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

??

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

??

由图可知，，故.

综上所述，成立.故选：D

6．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；

解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.

【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

??

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

??

故选：D.

.

7．（2019年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）若x1=，x2=是函数f(x)=(0)两个相邻的极值点，则=

A．2 B．

C．1 D．

【答案】A

【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得.

【详解】由题意知，的周期，得．故选A．

【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．

8．（2019年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先判定点是否为切点，再利用导数的几何意义求解.

【详解】当时，，即点在曲线上．则在点处的切线方程为，即．故选C．

【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．

9．（2019年全国高考Ⅲ卷（文）数学试题）已知曲线在点处的切线方程为，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．

【详解】详解：

，

将代入得，故选D．

【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．

二、填