精品解析：北京市西城区外国语学校2021-2022学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版）.docxVIP

2021北京西城外国语学校高二（上）开学考

数学

一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）

1.已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（）

A. B. C. D.

2.在以下三个命题中，真命题个数是（）.

①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底.

A.0 B.1 C.2 D.3

3.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》?2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”．未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515．现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为（）

A. B. C. D.

4.已知两个平面相互垂直，有下列命题：

①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；

③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．

其中真命题的个数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

5.在三角形中，已知，且，则向量在向量的投影是（）

A.7 B.6 C.5 D.4

6.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面点看楼顶点的仰角为30°，沿直线前进79米到达点，此时看点的仰角为45°，若，则楼高约为（）．

A.65米 B.74米 C.83米 D.92米

7.已知四棱锥的底面为边长为2的菱形，，E为中点，则与底面所成角的正切值为（）

A. B. C. D.2

8.在中，，，是边的中点.为所在平面内一点且满足，则的值为

A. B. C. D.

二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）

9.某工厂有，，三个车间，车间有600人，车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中车间10人，则样本中车间的人数为________

10.若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______

11.在中，，，，，则______；设，且，则的值为______.

12.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，则在三棱锥A﹣BCD中，下列判断正确的是_____．（写出所有正确的序号）

①平面ABD⊥平面ABC

②直线BC与平面ABD所成角是45°

③平面ACD⊥平面ABC

④二面角C﹣AB﹣D余弦值为

三、解答题（共3小题，共52分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）

13.如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题.

（1）80～90这一组的频数、频率分别是多少？

（2）估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、第45百分位数；

（3）从成绩是80分以上（包括80分）学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.

14.在中，.

（1）求的值；

（2）若，且的面积，求的值.

15.已知四棱锥中平面，且，底面为直角梯形，分别是的中点．

（1）求证：//平面；

（2）求截面与底面所成二面角大小；

（3）求点到平面的距离．