精品解析：北京市清华大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）.docxVIP

数学

（清华附中高22级）

2023.11

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.在复平面内，复数，则等于（）

A B. C.2 D.

2.已知向量，则等于（）

A B. C. D.

3已知函数满足，则等于（）

A.3 B. C.0 D.

4.已知平面与平面间的距离为3，定点，设集合，则S表示的曲线的长度为（）

A. B. C. D.

5.已知函数，则的大小关系为（）

A. B.

C. D.

6.已知直线恒过点，圆，则“直线的斜率为”是“直线与圆相切”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.在中，，则的面积为（）

A. B. C. D.

8.已知数列的前项和，下列判断中正确的是（）

A. B.数列是单调递减数列

C.数列前项的乘积有最大值 D.数列前项的乘积有最小值

9.已知椭圆分别为左右焦点，为椭圆上一点，满足，则的长为（）

A. B. C. D.

10.如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（）

A.存在点∥平面 B.对任意点

C.存在点，使得与所成的角是 D.不存在点，使得与平面所成的角是

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小鬽5分，共25分．

11.已知点是椭圆的两个焦点，横坐标为4的点在椭圆上，则的周长为_________．

12.古代名著中的《营造法式》集中了当时的建筑设计与施工经验．下图1为《营造法式》中的殿堂大木制作示意图，其中某处木件嵌入处部分是底面为矩形的四棱锥，如图2所示，其侧面是边长为的等边三角形，，且平面底面，则该四棱锥的体积为_________．

13.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为_________．

14.已知点在函数的图像上，且有最小值，则常数的一个取值为_________．

15.已知函数的定义域为，其最小值为2．点是函数图象上的任意一点，过点分别作直线和轴的垂线，垂足分别为．其中为坐标原点．给出下列四个结论：

①；②不存在点，使得；

③的值恒为；④四边形面积的最小值为．

其中，所有正确结论的序号是_________．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步验或证明过程．

16.已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）求函数在区间上的值域．

17.已知直线，圆．

（1）若，求证：直线与圆相交；

（2）已知直线与圆相交于，两点．若的面积为1，求的值．

18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，分别是中点．

（1）求证：∥平面；

（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值．

条件①：平面平面；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

19.已知椭圆的短轴长为4，离心率为．直线与椭圆交于两点，点不在直线l上，直线与交于点．

（1）求椭圆方程；

（2）求直线的斜率．

20.已知函数，曲线在处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）求函数的定义域及单调区间；

（3）求函数的零点的个数．

21.设是正整数，如果存在非负整数使得，则称是好数，否则称是坏数．例如：，所以2是好数．

（1）分别判断是否为好数；

（2）若是偶数且是好数，求证：是好数，且是好数；

（3）求最少的坏数．