精品解析：北京市第五十五中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）.docxVIP

2022北京五十五中高二（上）期中

数学

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，把答案填在答题纸上）

1.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（）

A. B. C. D.

2.直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（）

A.30° B.60° C.120° D.90°

3.斜率为，在轴上截距为的直线方程的一般式为

A. B.

C. D.

4.若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）

A. B. C. D.

5.下列各组事件中，不是互斥事件的是

A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分

C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒

D.检查某种产品，合格率高于与合格率为

6.在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是（）

①；②；

③；④．

A.①② B.②③ C.③④ D.①④

7.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（）

A. B. C. D.

8.“直线与互相垂直”是“”的（）

A.必要不充分条件 B.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

9.已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（）

A. B.或 C. D.或

10.四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（）

A.1 B. C. D.2

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题纸上）

11.我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示：

年降水量/mm

[100,150)

[150,200)

[200,250)

[250,300]

概率

0.21

0.16

0.13

0.12

则年降水量在[200，300]（mm）范围内的概率是___________

12.已知空间向量，则__________．

13.设分别是平面α，β的法向量，则平面α与平面β的夹角是__________．

14.两平行直线：与：之间的距离是_____．

15.如图，在正方体中，为棱的中点．动点沿着棱从点向点移动，对于下列三个结论：

①存点，使得；

②的面积越来越大；

③四面体的体积不变．

所有正确的结论的序号是__________．

三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）

16.在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和．

（1）求边所在直线的方程和点到直线的距离；

（2）求线段垂直平分线所在的直线方程；

（3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．

17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为

（1）求频率分布直方图中的值；

（2）估计该企业职工对该部门评分不低于80的概率；

（3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.

18.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点.

（1）求的长；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求直线与平面所成的角的正弦值.

19.有两种投资方案，一年后投资的盈亏情况如下两表：

投资股市的盈亏情况表

投资结果

获利40%

不赔不赚

亏损20%

概率

购买基金的盈亏情况表

投资结果

获利20%

不赔不赚

亏损10%

概率

p

q

（1）当时，求q的值；

（2）已知甲、乙两人都选择了“投资股市”进行投资，求一年后他们中恰有一人亏损概率；

（3）已知丙、丁两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，设一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围．

20.如图，在三棱锥中，底面，，为的中点，为的中点，，．

（1）求证：；

（2）求点到平面距离；

（3）在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

21.规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置．我们说球A是指该球的球心点A．两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向．所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动．如图：在桌面上建立平面直角坐标系，设母球A的位置为（R），目标球B的位置