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Gauss型积分公式

摘要

求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方

法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的

解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得

其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是

除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1

点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n

为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积

分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实

现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这

一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨

论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度

1、实验目的

1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提

高代数精度这一问题中的思想方法。

2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的

编程能力。

3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程

下面介绍三种常见的Gauss型积分公式

1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式

勒让德（Legendre）多项式

如下定义的多项式

称作勒让德多项式。由于是次多项式，所以是n次多项

式，其最高次幂的系数与多项式

的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式

是在上带的n次正交多项式，而且

这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的

Gauss型积分公式为

此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。

其中Gauss-Legendre求积公式的系数

1

其中k的取值范围为

Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以

给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表

即可。

nxAnxA

0

2

0

1026

3

1.2386191816

0

4

21