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高等数学（同济五版）难点总结范文及课后习题解读

上册：

函数（高等数学的主要研究对象）

极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通

过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变

量）的变化趋势

由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性应当注意到，

由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立

连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量

无限接近，因变量无限接近

导数的概念

本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，

更简单的说法是变化率

微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、

微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上

任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近

似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了

不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分

定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用

是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，

当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分

求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考

虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂

三指的顺序来记忆

定积分的几何应用和物理应用

高等数学里最重要的数学思想方法：微元法

微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性

微分中值定理，可从几何意义去加深理解

泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需

要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多

项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要

求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这

种近似的精确度就是足够好的。

下册（一）：

多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数

最典型的是二元函数

极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近

的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要

求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变

化趋势

连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点

的函数值是否相等

导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化

情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方

向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念

沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数

通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选

定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一

点沿任意方向的变化情况

高阶偏导数若连续，则求导次序可交换

微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元

函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两

个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶

无穷小，若是，则微分存在

仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的

误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在

若偏导数存在，且连续，则微分一定存在

极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为

复杂

极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导

数（偏导数）必为零

所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，

由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数

的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负

定性判断。

级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。

若通项趋于零，看是

否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比

级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值

判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝

对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值不收敛，考察

一般项，看是否交错级数，用莱布尼兹准则判断。若不是交错级数，只能

通过最根本的方法判断，即看其