4.2.2 等差数列的前n项和（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

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4.2.2等差数列的前n项和（精讲）

考点一等差数列前n项和基本量的计算

【例1-1】（2023·北京）已知数列是等差数列．

(1)若，，求；

(2)若，，求；

(3)若，，，求n．

(4)若，，求；

(5)若，，求；

(6)若，，，求n．

【答案】(1)2700(2)(3)．(4)2(5)1596(6)11

【解析】（1）因为，，根据公式，可得．

（2）因为，，所以．根据公式，可得．

（3）把，，代入，得．

整理，得．解得，或（舍去）．所以．

（4）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得；

（5）数列为等差数列，，，

设公差为d，故，解得，

则；

（6）由题意知数列为等差数列，，，

设公差为d，则，解得，

由，得，解得或（舍去），故.

【例1-2】（2023春·湖南衡阳·高二校考阶段练习）数列中，，，

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【解析】（1）因为，即，所以数列是等差数列，

所以，.

（2）令得，；

当时，；

当时，

.

综上可得，

【一隅三反】

1．（2022秋·内蒙古呼伦贝尔）已知等差数列的前n项和，且则（????）

A．10 B．15 C．30 D．3

【答案】B

【解析】因为是等差数列，，

所以，则，

所以.

故选：B.

2．（2023春·江西新余·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，若，，则等差数列的公差（????）

A．3 B．2 C． D．4

【答案】B

【解析】等差数列的前项和为，，，

于是，解得，

所以等差数列的公差.

故选：B

3．（2023·全国·高二随堂练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和．

（1），，；????

（2），，；

（3），，；????

（4），，．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）

【解析】（1）由题意，，，

所以

（2）由题意，，，

所以.

（3）由题意，，，，

所以

（4）由题意，，，

由，得，解得，

所以.

4．（2023春·广西桂林·高二统考期末）在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列的前n项和，求n．

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）设数列的首项为，公差为d，

则，解得，

∴．

（2）由以及，，，???

得方程，整理得，

解得或（舍去），

故．

5．（2023秋·高二课时练习）已知数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）当时，，即，

当时，，

时，满足上式，

所以.

（2）因为，所以当时，；当时，，

当时，，

当时，

，

所以.

考点二等差数列片段和的性质

【例2-1】（2023春·江西吉安·高二统考期末）记为等差数列的前项和，，，则（????）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【解析】（法一）数列为等差数列，有，，成等差数列，，

解得，故选：C.

（法二）由题意知，，，解得，，，

故选：C.

【例2-2】（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知等差数列，若，，则（????）

A．30 B．36 C．24 D．48

【答案】A

【解析】已知等差数列，①，②，

设数列的公差为d，

②－①得，

则．

故选：A.

【一隅三反】

1．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）在等差数列中，已知，，则（????）

A．90 B．40 C．50 D．60

【答案】D

【解析】因为为等差数列，所以成等差数列，

，，故，

.

故选：D

2．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）等差数列的前项和为，若，，则（????）

A．6 B．12 C．15 D．21

【答案】C

【解析】设，则，，

因为为等差数列，所以，，也成等差数列，

则，解得．

故选：C

3．（2023·陕西榆林）已知为等差数列的前项和，若，，则（????）

A．3 B．5 C．7 D．8

【答案】B

【解析】因为数列是等差数列，

成等差数列，

而，，

，

故选：B.

4．（2022春·高二单元测试）设是等差数列的前项和，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，

∵，即，，

∴，，∴，，

∴.故选：A.

考点三两个等差数列前n项和的比值

【例3-1】（2023春·河南驻马店·高二校考阶段练习）设，分别是两个等差数列，的前n项和．若对一切正整数n，恒成立，（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由等差数列的性质，可得

.

故选：B

【例3-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末）设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（????