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4.2.2等差数列的前n项和(精讲)
考点一等差数列前n项和基本量的计算
【例1-1】(2023·北京)已知数列是等差数列.
(1)若,,求;
(2)若,,求;
(3)若,,,求n.
(4)若,,求;
(5)若,,求;
(6)若,,,求n.
【答案】(1)2700(2)(3).(4)2(5)1596(6)11
【解析】(1)因为,,根据公式,可得.
(2)因为,,所以.根据公式,可得.
(3)把,,代入,得.
整理,得.解得,或(舍去).所以.
(4)由题意知数列为等差数列,,,
设公差为d,故,解得;
(5)数列为等差数列,,,
设公差为d,故,解得,
则;
(6)由题意知数列为等差数列,,,
设公差为d,则,解得,
由,得,解得或(舍去),故.
【例1-2】(2023春·湖南衡阳·高二校考阶段练习)数列中,,,
(1)求数列的通项公式及前项和;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1),
(2)
【解析】(1)因为,即,所以数列是等差数列,
所以,.
(2)令得,;
当时,;
当时,
.
综上可得,
【一隅三反】
1.(2022秋·内蒙古呼伦贝尔)已知等差数列的前n项和,且则(????)
A.10 B.15 C.30 D.3
【答案】B
【解析】因为是等差数列,,
所以,则,
所以.
故选:B.
2.(2023春·江西新余·高二统考期末)已知等差数列的前项和为,若,,则等差数列的公差(????)
A.3 B.2 C. D.4
【答案】B
【解析】等差数列的前项和为,,,
于是,解得,
所以等差数列的公差.
故选:B
3.(2023·全国·高二随堂练习)根据下列各题中的条件,求相应等差数列的前n项和.
(1),,;????
(2),,;
(3),,;????
(4),,.
【答案】(1);(2);(3);(4)
【解析】(1)由题意,,,
所以
(2)由题意,,,
所以.
(3)由题意,,,,
所以
(4)由题意,,,
由,得,解得,
所以.
4.(2023春·广西桂林·高二统考期末)在等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前n项和,求n.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)设数列的首项为,公差为d,
则,解得,
∴.
(2)由以及,,,???
得方程,整理得,
解得或(舍去),
故.
5.(2023秋·高二课时练习)已知数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)当时,,即,
当时,,
时,满足上式,
所以.
(2)因为,所以当时,;当时,,
当时,,
当时,
,
所以.
考点二等差数列片段和的性质
【例2-1】(2023春·江西吉安·高二统考期末)记为等差数列的前项和,,,则(????)
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】(法一)数列为等差数列,有,,成等差数列,,
解得,故选:C.
(法二)由题意知,,,解得,,,
故选:C.
【例2-2】(2023春·河南南阳·高二校联考期中)已知等差数列,若,,则(????)
A.30 B.36 C.24 D.48
【答案】A
【解析】已知等差数列,①,②,
设数列的公差为d,
②-①得,
则.
故选:A.
【一隅三反】
1.(2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末)在等差数列中,已知,,则(????)
A.90 B.40 C.50 D.60
【答案】D
【解析】因为为等差数列,所以成等差数列,
,,故,
.
故选:D
2.(2023春·内蒙古·高二校联考期末)等差数列的前项和为,若,,则(????)
A.6 B.12 C.15 D.21
【答案】C
【解析】设,则,,
因为为等差数列,所以,,也成等差数列,
则,解得.
故选:C
3.(2023·陕西榆林)已知为等差数列的前项和,若,,则(????)
A.3 B.5 C.7 D.8
【答案】B
【解析】因为数列是等差数列,
成等差数列,
而,,
,
故选:B.
4.(2022春·高二单元测试)设是等差数列的前项和,若,则(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知、、、成等差数列,
∵,即,,
∴,,∴,,
∴.故选:A.
考点三两个等差数列前n项和的比值
【例3-1】(2023春·河南驻马店·高二校考阶段练习)设,分别是两个等差数列,的前n项和.若对一切正整数n,恒成立,(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由等差数列的性质,可得
.
故选:B
【例3-2】(2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐八一中学校考期末)设等差数列的前项和分别为,若对任意的,都有,则的值为(????
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