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4.2.2等差数列的前n项和(精讲)
考点一等差数列基本量的计算
【例1-1】(2022·江苏·高二课时练习)设等差数列的前n项和为.
(1)已知,,求;
(2)已知,,求;
(3)已知,,求;
(4)已知,,求.
【答案】(1)44(2)(3)370(4)-42
【解析】(1)等差数列中,,,
,解得,..
等差数列中,,,,即得,
解得.
(3)等差数列中,,,
,解得,,.
(4)等差数列中,,,,,成等差数列,
,即,解得.
【例1-2】(2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题)古代《九章算术》记载:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何”其意思为:“今有人分钱,各人所得钱数依次成等差数列,其中前人所得之和与后人所得之和相等,问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设第分到钱,设数列的公差为,
由题意可得,所以,,解得.故选:A.
【一隅三反】
1.(2022·江苏南京)设为等差数列的前项和,若,则的值为(???)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得:设等差数列的通项公式为,则
解得:故选:B
2.(2021·江苏省震泽中学高二月考)北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下比中层多729块,则第三层(即下层)共有扇面形石板()
A.1539块 B.1863块
C.3402块 D.3339块
【答案】C
【解析】由题意可知,从上到下,从内到外,每环的扇面形石板数构成以9为首项,9为公差的等差数列,设为,设上层有环,则上层扇面形石板总数为,中层扇面形石板总数为,下层扇面形石板总数为,三层扇面形石板总数为,因为是等差数列,所以构成等差数列,公差为,因为下层比中层多729块,所以,解得:,所以.
故选:C
3.(2022·江苏·高二课时练习)设等差数列的前n项和为.
(1)已知,求;
(2)已知,求;
(3)已知,求;
(4)已知,,求.
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)在等差数列的前n项和为且,
由等差数列的前项和公式,可得.
(2)在等差数列的前n项和为且,
由等差数列的性质可得,
又由等差数列的前项和公式,可得.
(3)解:在等差数列的前n项和为且,
由等差数列的前项和公式,可得,解得,
又由等差数列的性质可得.
(4)解:在等差数列的前n项和为且,
根据等差数列的前项和的性质,可得构成等差数列,
因为,即构成的等差数列,
所以,解得.
考点二等差数列前n项和与中项性质
【例2-1】(2022·辽宁)若等差数列和的前项的和分别是和,且,则(???)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为和是等差数列,故故选:C
【例2-2】(2022·北京·北理工附中高二期中)已知两等差数列,,前n项和分别是,,且满足,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】两等差数列,,前n项和分别是,,满足,
所以.故选:B
【例2-3】(2022·安徽宿州·高二期中)已知两个等差数列和的前n项和分别为和,且,则(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由.故选:D
【例2-4】(2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习)设等差数列,的前n项和分别是,,若,则(????)
A. B.
C. D.3
【答案】B
【解析】由等差数列的前项和公式满足形式,设,则,故.故选:B.
【一隅三反】
1.(2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习)设等差数列,的前n项和分别是,,若,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为等差数列,的前n项和分别是,
所以.
故选:B
2.(2022·海南华侨中学高二期末)设等差数列与等差数列的前n项和分别为,,若对任意自然数n都有,则的值为(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,.故选:C.
3.(2022·全国·高二课时练习)两个等差数列和的前项和分别为、,且,则等于(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】两个等差数列和的前项和分别为、,且,
所以.
故选:A
4.(2022·安徽滁州·高二期中)设是等差数列的前n项和,若,则(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在等差数列中,由,得,故选:B
5.(2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习)已知分别是等差数列的前项和,且,则(????)
A
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