2024-2025学年上海延安中学高三上学期数学开学考试卷及答案（2024.09）.docx

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延安中学2024学年第一学期高三年级数学开学考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．若集合，，则________．

2．不等式的解集为________．

3．若（i为虚数单位），则的共轨复数为________．

4．若角的终边经过点，则________．

5．某校高一（1）班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人，从该班任选一个作学生代表．已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率________．

6．若的二项展开式中的系数是，则实数________．

7．已知圆，则圆心到直线的最大距离为_____．

8．设当时，函数取得最大值，则________．

9．已知为函数图像上的任意一点，则的最大值

为________．

10．已知两个非零向量、满足，则向量在向量方向上的投影向量___．

11．定义为数列的“均值”，已知数列的“均值”，记数列的前项和为，若对任意正整数恒成立，则实数的取值范围为________．

12．若关于的方程在区间内有两个不同的实数解，那么实数的取值范围是________．

二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)

13．“”是“”成立的（）条件

A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要

14．若甲乙两人从4门课程中各选修2门，则甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（）

A．6种 B．12种 C．24种 D．30种

15．已知正方体的棱长为1，线段上有两个动点、，若，则下列结论中错误的是（）

A． B．平面

C．异面直线、所成的角为定值 D．三棱锥的体积为定值

16．我们知道，互相垂足且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．如果坐标系中两条坐标轴的原点重合且不互相垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为．在轴（轴）上的点的纵坐标（横坐标）为0，如图，在斜坐标系中，如果轴与轴相交所成的角为，过平面任意一点，分别作坐标轴的平行线，交轴于点，交轴于点，将点在轴上的坐标，点在轴上的坐标称为点在该坐标系中的坐标，记为．若、是该坐标系中的任意两点，则点之间的距离为（）

A．

B．

C．

D．

三、解答题(共5道大题,共76分)

17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)

如图，已知正方体的棱长为．

（1）求直线和平面所成角的大小；

（2）求二面角的大小．

18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)

已知，曲线在点处的切线斜率为2．

（1）求的值；

（2）求不等式的解集．

19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)

2021年8月，义务教育阶段“双减”政策出台，某初中在课后延时服务开设奥数、科技、体育等特色课程，为了进一步了解学生选课的情况，所及选取了400人进行调查问卷，整理后获得如下统计表：

喜欢奥数

不喜欢奥数

总计

已选奥数课（组）

150

50

200

未选奥数课（组）

90

110

200

总计

240

160

400

（1）若从样本内喜欢奥数的240人中用分层抽样方法随机抽取32人，则应在组、组各抽取多少人？

（2）能否有的把握认为选报奥数延时课与喜欢奥数有关？附：

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

参考公式：，其中．

20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第

(3)小题满分6分)

在平面直角坐标系中，已知双曲线．

（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条浙进线及轴围成的三角形的面积；

（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；

（3）设椭圆，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值．

21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,第(3)小题满分8分)

已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且．

（1）求，，，；

（2）求数列的前项和；

（2）记，，求证：．

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参考答案

一、填空题

1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.