5.2 导数的运算（精讲）（解析版）人教版高中数学精讲精练选择性必修二.docx

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5.2导数的运算（精讲）

考点一导数公式求函数的导数

【例1】（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5).

【答案】(1)(2)(3)(4)(5)

【解析】（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

【一隅三反】

1．（2023·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)(2)(3)(4)

【解析】（1）由，可得；

（2）由，可得；

（3）由，可得；

（4）由，

可得.

2．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；

(7)；(8).

【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

【解析】（1），.

（2）.

（3）.

（4），.

（5），.

（6）.

（7）.

（8）.

考点二运算法则求函数的导数

【例2】（2023秋·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)(2)

(3)(4)

【解析】（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【一隅三反】

1．（2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习）求下列函数的导数．

(1)；(2)；(3)；(4)．

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】（1）

（2）

（3）．

（4）．

2．（2023秋·陕西西安·高二统考期末）求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【解析】（1）．

（2）．

（3）．

3．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）求下列函数的导数：

(1)；(2)；(3)；(4)

(5)；(6)．

【答案】(1)(2)(3)

(4)(5)(6)

【解析】（1），

（2），

（3），

（4），

（5）

（6）

考点三求复合函数的导数

【例3】（2023·全国·高二课堂例题）求下列函数的导数：

(1)；(2)；(3)．

【答案】(1)(2)(3)

【解析】（1）函数可以看作与复合而成，

根据复合函数求导法则有．

（2）函数可以看作与复合而成，

根据复合函数求导法则有．

（3）函数可以看作与复合而成，

根据复合函数求导法则有.

【一隅三反】

1．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导数：

(1)；

(2)；

(3)；

(4).

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】（1）令，则，

所以，，

所以.

（2）令，则，

所以，，

所以.

（3）令，则，

所以，，

所以.

（4）令，则，

所以，，

所以.

2．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的导数．

(1)；

(2)；

(3)

(4)；

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】（1）因为，所以.

（2）因为，所以.

（3）因为，所以

（4）因为，所以

考点四切线方程

【例4】（2023·云南）已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．

【答案】(1)

(2)，切点为

【解析】（1）由，得，

所以，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）设切点为，由（1）得，

所以切线方程为，

因为切线经过原点，

所以，

所以，．

则，

所以所求的切线方程为，切点为．

【一隅三反】

1．（2023春·广东惠州·高二统考期中）已知函数.

(1)曲线在点处的切线方程；

(2)曲线过点的切线方程.

【答案】(1)

(2)

【解析】（1）解：因为，所以，又，

所以曲线在处的切线方程为，即；

（2）解：设切点为，则，

所以切线方程为，?????

因为切线过点，所以，即，解得，???????

故所求切线方程为．

2．（2023秋·高二课时练习）已知曲线.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求曲线过原点的切线方程及切点坐标.

【答案】(1)

(2)，

【解析】（1），

在点处的切线的斜率为，

切线的方程为，即；

（2）设切点为,，

则直线的斜率为，

直线的方程为，

又直线过点，

，

整理得，，

，

，

．

直线的方程为，切点坐标为．

考点五切线方程的应用

【例5-1】（2022·高二课时练习）已知和曲线相切的直线的倾斜角为，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意，得,

因为，当且仅当时，等号成立，

所以，

即和曲线相切的直线的斜率的取值范围为，即，又，

所以的取值范围为．

故选：D．

【例5-2】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则．

【答案】5

【解析】由，得，由，解得，

则直线与曲线相切于点，

∴，得，

∴直线是曲线的切线，

由，得，设切点为，

则，且，联立