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5.2导数的运算(精讲)
考点一导数公式求函数的导数
【例1】(2023春·高二课时练习)求下列函数的导数.
(1);(2);(3);(4);(5).
【答案】(1)(2)(3)(4)(5)
【解析】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【一隅三反】
1.(2023·高二课时练习)求下列函数的导数:
(1);(2);(3);(4).
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)由,可得;
(2)由,可得;
(3)由,可得;
(4)由,
可得.
2.(2023春·高二课时练习)求下列函数的导数.
(1);(2);(3);(4);(5);(6);
(7);(8).
【答案】(1)0(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)
【解析】(1),.
(2).
(3).
(4),.
(5),.
(6).
(7).
(8).
考点二运算法则求函数的导数
【例2】(2023秋·高二课时练习)求下列函数的导数:
(1);(2);(3);(4).
【答案】(1)(2)
(3)(4)
【解析】(1);
(2);
(3);
(4).
【一隅三反】
1.(2023春·宁夏银川·高二宁夏育才中学校考阶段练习)求下列函数的导数.
(1);(2);(3);(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】(1)
(2)
(3).
(4).
2.(2023秋·陕西西安·高二统考期末)求下列函数的导数.
(1);
(2);
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】(1).
(2).
(3).
3.(2023春·陕西宝鸡·高二统考期末)求下列函数的导数:
(1);(2);(3);(4)
(5);(6).
【答案】(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
【解析】(1),
(2),
(3),
(4),
(5)
(6)
考点三求复合函数的导数
【例3】(2023·全国·高二课堂例题)求下列函数的导数:
(1);(2);(3).
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)函数可以看作与复合而成,
根据复合函数求导法则有.
(2)函数可以看作与复合而成,
根据复合函数求导法则有.
(3)函数可以看作与复合而成,
根据复合函数求导法则有.
【一隅三反】
1.(2023春·高二课时练习)求下列函数的导数:
(1);
(2);
(3);
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】(1)令,则,
所以,,
所以.
(2)令,则,
所以,,
所以.
(3)令,则,
所以,,
所以.
(4)令,则,
所以,,
所以.
2.(2023·全国·高三专题练习)求下列函数的导数.
(1);
(2);
(3)
(4);
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】(1)因为,所以.
(2)因为,所以.
(3)因为,所以
(4)因为,所以
考点四切线方程
【例4】(2023·云南)已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)直线为曲线的切线,且经过原点,求直线的方程及切点坐标.
【答案】(1)
(2),切点为
【解析】(1)由,得,
所以,
所以曲线在点处的切线方程为,即.
(2)设切点为,由(1)得,
所以切线方程为,
因为切线经过原点,
所以,
所以,.
则,
所以所求的切线方程为,切点为.
【一隅三反】
1.(2023春·广东惠州·高二统考期中)已知函数.
(1)曲线在点处的切线方程;
(2)曲线过点的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】(1)解:因为,所以,又,
所以曲线在处的切线方程为,即;
(2)解:设切点为,则,
所以切线方程为,?????
因为切线过点,所以,即,解得,???????
故所求切线方程为.
2.(2023秋·高二课时练习)已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求曲线过原点的切线方程及切点坐标.
【答案】(1)
(2),
【解析】(1),
在点处的切线的斜率为,
切线的方程为,即;
(2)设切点为,,
则直线的斜率为,
直线的方程为,
又直线过点,
,
整理得,,
,
,
.
直线的方程为,切点坐标为.
考点五切线方程的应用
【例5-1】(2022·高二课时练习)已知和曲线相切的直线的倾斜角为,则的取值范围是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意,得,
因为,当且仅当时,等号成立,
所以,
即和曲线相切的直线的斜率的取值范围为,即,又,
所以的取值范围为.
故选:D.
【例5-2】(2023春·辽宁沈阳·高二校联考期中)若直线是曲线与曲线的公切线,则.
【答案】5
【解析】由,得,由,解得,
则直线与曲线相切于点,
∴,得,
∴直线是曲线的切线,
由,得,设切点为,
则,且,联立
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