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专题3用导数研究函数的极值

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用,也是高考考查的重点,本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题求解问题.

二、解题秘籍

(一)求函数的极值

1.函数的极值与导数的关系

(1)函数的极小值与极小值点

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′(a)＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′(b)＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.

2.求函数f(x)极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数f′(x)；

③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；

④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值；如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.

3.对极值理解：

(1)极值点不是点,注意极值与极值点的区别；

(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值．

(3)根据函数的极值可知函数的极大值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都大,在函数的图象上表现为极大值对应的点是局部的“高峰”；函数的极小值f(x0)比在点x0附近的点的函数值都小,在函数的图象上表现为极小值对应的点是局部的“低谷”．一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能大于另一个点处的极大值,极大值与极小值没有必然的联系,即极小值不一定比极大值小,极大值不一定比极小值大；

(4)使f′(x)＝0的点称为函数f(x)的驻点,可导函数的极值点一定是它的驻点．驻点可能是极值点,也可能不是极值点．例如f(x)＝x3的导数f′(x)＝3x2在点x＝0处有f′(0)＝0,即x＝0是f(x)＝x3的驻点,但从f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数可知,x＝0不是f(x)的极值点．因此若f′(x0)＝0,则x0不一定是极值点,即f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取到极值的必要不充分条件,函数y＝f′(x)的变号零点,才是函数的极值点；

(5)函数f(x)在［a,b］上有极值,极值也不一定不唯一．它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．一般地,当函数f(x)在［a,b］上连续且有有限个极值点时,函数f(x)在［a,b］内的极大值点、极小值点是交替出现的．

【例1】(2024届四川省叙永第一中学高三上学期入学考试)已知函数,其中,.

(1)当时,求函数的极值；

(2)若方程恰有两个不相等的实数根,求的取值范围.

【解析】（1）当时,,.

,当时,；当时,.

函数单调递减区间为,单调递增区间为.

的极小值为,无极大值.

（2）,,由方程,得,

令,则.

令,则.

当时,；当时,.

函数在上单调递增,在上单调递减.

,方程有唯一解.

方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解.

等价于方程有两个不相等的实数解.

构造函数,则.

,当时,；当时,.

函数在上单调递增,在上单调递减.

,；,.

只需要,即.

构造函数,则.

当时,；当时,.

函数在上单调递减,在上单调递增.

,当时,恒成立.

的取值范围为.

(二)函数极值点的个数问题

可导函数的极值点的个数,通常转化为方程实根个数,再根据的单调性或图象求解,求解时要注意是的必要不充分条件.可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号异号．另外,不可导函数也会有极值,如函数,在极小值点是不可导的.

【例2】（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数.

(1)当时,求的单调区间；

(2)求证：当时,函数有三个不同的极值点.

【解析】（1）当时,,

,

所以在区间单调递增,

在区间单调递减.

所以的增区间为；减区间为.

（2）依题意,

,

对于函数,

,

所以有两个零点,设为,则,

不妨设,

所以在区间单调递减；

在区间单调递增,

所以有三个不同的极值点.

(三)由函数极值点个数确定参数范围

此类问题一般是先把问题转化为实根个数问题,可借助图象分析,若可化为二次方程问题,可利用二次方程根的分布求解.

【例3】（2024届福建省龙岩市上杭县高三第一次月考）已