2024-2025学年上海青浦高级高三上学期数学月考及答案（2024.09）.docx

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青浦中学2024学年第一学期高三年级数学月考

2024.09

一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1.直线的倾斜角大小为.

2.在的展开式中,含项的系数为.

3.已知集合,集合,则.

4.若关于的方程组有唯一解,则实数满足的条件是.

5.已知,则是的条件.

6.已知的最小值为.

7.从这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数,则这个两位数是偶数的概率为.

8.已知函数,且,则方程的解是.

9.已知集合,若,则的取值范围是.

10.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是.

11.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是.

12.对于定义在上的函数,若同时满足:(1)对任意的,均有；（2）对任意的,存在,且,使得成立,则称函数为等均函数.下列函数中:①;②③;④,等均函数的序号是.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)

13.若实数满足，则下列不等式中恒成立的是（）.

A.;B.;C.;D..

14.在2022北京冬奥会单板滑雪型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过去掉其中一个最高分和一个最低分处理后，得到4个有效分。则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（）.

A.平均数;B.中位数;C.众数;D.方差.

15.如图所示,在正方体中,是棱上一点,若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（）.

.存在平面,与直线垂直;

B.四边形可能是正方形；

C.不存在平面与直线平行;

D.任意平面与平面垂直.

16.已知无穷数列的各项均为实数,为其前项和,若对任意正整数都有,则下列各项中可能成立的是（）.

A.为等差数到,为等比数列;

B.为等比数列，为等差数列;

C.为等差数列，为等比数列;

D.为等比数列，为等差数列

三、解答题(本大题共有5题，满分78分)

17.(本题满分14分,本题共有两个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分)

如图,在四棱锥中,平面,底面为梯形,

,.

（1）在侧面中能否作出一条线段,使其与平行?如果能,请写出作图过程并给出证明,如果不能,请说明理由;

(2)若四棱锥的体积是,求直线与平面所成角的大小.

18.(本题满分14分,本题共有两个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分)

记为数列的前项和,已知是公差为的等差数列.

(1)求的通项公式;

(2)证明:.

19.(本题满分15分,第1小题满分7分,第2小题满分7分)

汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车。某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为.当车速为（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，).

（1）请写出报警距离（米）与车速（米/秒）之间的函数关系式；并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒）

（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到1千米/小时）？

20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

已知椭圆的左、右点分别为,点在椭圆上,且.

(1)求椭圆的方程;

(2)过点作斜率为的直线交椭圆于两点,若,求直线的方程;

(3)点为椭圆上的两个动点,为坐标原点,若直线的斜率之积为,求证:为定值.

21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)

设函数,直线是曲线在点处的切线.

(1)当时,