专题9.3双曲线的定义与性质(解析版).docx

9.3双曲线的定义与性

思维导图

知识点总结

1.双曲线定义：设F1，F2是平面内的两个定点，若平面内的点P满足||PF

2.双曲线的标准方程及简单几何性质

标准方程

x

y

焦点坐标

左焦点F1?

上焦点F10

焦距

F1F2=

图形

x≤?a或x≥a，y

y≤?a或y≥a，x∈R

范围

对称性

关于x轴、y轴、原点对称

实轴端点(顶点)

(±a，

(0，±a)

虚轴端点

(0，±b)

(±b，0)

实轴长

2a，其中a

虚轴长

2b，其中b

渐近线

y

y

离心率

e

3.双曲线通径公式：过焦点且与双曲线实轴垂直的弦叫做通径，通径长为2b

典型例题分析

考向一双曲线的定义

【例1】双曲线C：x24?y2=1的左、右焦点分别为

答案：2或10

解析：已知PF1求

由题意，PF1?PF2=4，所以

【变式】双曲线x24?y25=

答案：2

解析：如图，直接分析PA+PF的最小值不易，涉及PF，可考虑用定义转化到右焦点来分析，设双曲线的右焦点为F13，0，则

由三角形两边之和大于第三边可得PA+

当且仅当P与图中P0

结合(1)可得PA+PF≥

[反思]可以发现，双曲线定义与椭圆运用思路类似，实际上大部分题目处理思路也相同，故要类比学习.

考向二双曲线的标准方程

【例2】若方程x2m+y2

答案：?∞，

解析：双曲线标准方程中x2和y2的系数异号，所以1m?1

[反思]对于方程x2m+y2

【变式】双曲线λx2?y

答案：1

解析：先把双曲线化为标准方程，找到a和b，

所以a2=1λ，b2=1

考向三渐近线问题

【例3】已知双曲线C：x26?y2

答案：3

解析：由题意，a=6，b=3，c=a2+b

[反思]无论焦点在哪个坐标轴上，双曲线的渐近线都有个统一的求法：把标准方程中的“1”换成“0”，反解出y即得渐近线的方程.

【变式1】(2021新高考Ⅱ卷)若双曲线x2a2

答案：y

解析：由离心率可找到a和c的比例关系，再利用c2=a2+b2换算成a和b的关系即可，由题意，e=c

[反思]离心率和渐近线斜率由a，b，c的比值决定，故在求它们的过程中，可对a，b，c按比例赋值，不会影响结果.例如，本题也可由

【变式2】双曲线C与双曲线x22?y2=1

答案：y

解析：不知道焦点在哪个坐标轴，讨论当然可以，但较为繁琑，可用共渐近线的双曲线的统一设法，设双曲线C：x22?y2=λλ≠0，因为双曲线

[反思]与双曲线x2a2

考向四离心率问题

【例4】(2021-全国甲卷)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F

A.7

B.13

C.7

D.13

答案：A

解析：涉及PF1和PF2，考虑双曲线定义，由题意，PF1=3PF2PF1?PF2

【变式】}已知双曲线x2a2?y2b2=1a

A.5

B.3

C.2

D.5

答案：C

又AB=AF1，代入(1)可得AB?AF2=BF2=2a，代入(2)可得BF1?2a=2a，所以BF1=

考向五焦点三角形面积问题

【例5】[变式]设Fc，0是双曲线x2a2?y2b2

A.3

B.5

C.10

D.10

答案：D

解析：先分析图形，在双曲线中给出右焦点，一定要关注左焦点，如图，记左焦点为F1，由对称性，AB中点为O，又FF1的中点也是O，所以四边形AF1BF是平行四边形，结合AF⊥BF知四边形AF1BF是矩形，此时可将条件转移到△AFF1中来，结合双曲线的定义处理，设AF1=m，AF=n，则BF=m，由四边形AF1BF为矩形知AB=F

【变式】已知双曲线C：x2a2?y24=1a

答案：4

解析：涉及焦点三角形，考虑用双曲线的定义，如图，设PF1=m，PF2=n，则m?n=2a(1)，上面得到的是长度关系，故用勾股定理翻译垂直，因为

考向六直线与双曲线综合问题

【例6】]已知A，B是双曲线C：x22?y2

答案：3

解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，

M2，1

如图，直线AB过点M，故其方程为y?

整理得：3x?

[反思]在双曲线中，涉及弦中点的问题都可以考虑用中点弦斜率积结论来建立方程，求解需要的量.

[变式]已知双曲线C：x2?y2=1，过点Pm，1m0的直线

答案：0

解析：涉及弦中点，想到中点弦斜率积结论，由题意，kAB?kOP=kAB?1m=1，所以kAB=m，如图，直线l过点P，故其方程为y?1=mx?m，整理得：y=mx

由(1)可得m≠±1，由(2)可得1?m2m21?m2

基础题型训练

一、单选题

1．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程是

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】双曲线与椭圆有公共焦点，先求出椭圆的焦点，然后根据离心率分别求出，即可求出双曲线方程.

【详解】解：因为椭圆的焦点，

设双曲线的方