2024年北师大版九年级上册教学设计第二章2.2 用配方法求解一元二次方程.docx

第1课时直接开平方法和配方法

课时目标

1.能根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.

2.理解配方法,能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,体会转化等数学思想.

学习重点

用直接开平方法解形如x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的方程;配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

学习难点

把方程化为x2=p或(x+n)2=p(p≥0)的形式;理解并掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.

课时活动设计

知识回顾

1.平方根的定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根.

2.如果一个数的平方等于4,那么这个数是±2;如果一个数的平方等于7,那么这个数是±7;如果x2=a,那么x=±a.?

3.用字母表示因式分解的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2.?

4.练一练:x2-4x+4=(x-2)2;x2+6x+9=(x+3)2.?

设计意图:通过以上题目的练习,引导学生复习开平方和完全平方公式,为本课时的学习作铺垫.

新知引入

怎样解x2=2?

解:根据平方根的定义,x是2的平方根,即x=±2,记为x1=2,x2=-2.这种直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

设计意图:利用实际问题,让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用,为后面学习配方法作铺垫.

典例精讲

1.解下列方程:

(1)x2-4=0;(2)4x2-1=0.

分析:x2-4=0先将-4移项,再直接开平方;4x2-1=0也同样先移项,在两边同时除以4,化为x2=p的形式,再用直接开平方法直接计算.

解:(1)x2-4=0,x2=4,x=±2,即x1=2,x2=-2.

(2)4x2-1=0,4x2=1,x2=14,x=±12,即x1=12,x2

2.解方程:(x+1)2=2.

分析:只要把(x+1)看成是一个整体,就可以用直接开平方法求解.

解:(x+1)2=2

x+1=±2

即x1=-1+2,x2=-1-2.

设计意图:通过例题讲解,引导学生用直接开平方法解一元一次方程,提高学生分析问题、解决问题的能力.

探究新知

1.做一做:(填空配成完全平方式,体会如何配方)

填上适当的数,使下列等式成立.

(1)x2+12x+36=(x+6)2;(2)x2-6x+9=(x-3)2;?

(3)x2+8x+16=(x+4)2;(4)x2-4x+4=(x-2)2.?

2.想一想,解方程x2-12x-15=0的流程是怎样的?

x2-12x-15=0

↓移项,把常数项移到方程的右边

x2-12x=15

↓两边都加36即b22使左边配成x2-2bx+

x2-12x+36=15+36

↓使等式左边写成完全平方式

(x-6)2=51

↓两边开平方

x-6=±51

↓

x-6=51,或x-6=-51

↓解一元一次方程

x1=6+51,x2=6-51

设计意图:配方法的关键是正确配方,而要正确配方就必须熟悉完全平方公式的特征,在此通过几个填空题,使学生能够用语言叙述并充分理解等式的左边填的是“一次项系数一半的平方”,右边填的是“一次项系数的一半”,进一步复习巩固完全平方公式中常数项与一次项系数的关系.

典例精讲

解方程:x2+8x-9=0.(师生共同解决)

解:可以把常数项移到方程的右边,得x2+8x=9.

两边都加上42(一次项系数8的一半的平方),

得x2+8x+42=9+42,即(x+4)2=25.

两边开平方,得x+4=±5,即x+4=5或x+4=-5.

所以x1=1,x2=-9.

小结:例题中,我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根.这种解一元二次方程的方法称为配方法.

用这种方法解一元二次方程的思路是什么?关键又是什么?(小组合作交流)

设计意图:通过对上述题目的讲解,规范配方法解一元二次方程的过程,让学生充分理解用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化成(x+m)2=n(n≥0)的形式.同时提醒学生注意:有的方程虽然有两个不同的解,但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性,对结果进行取舍.

巩固训练

解下列方程:

(1)x2-10x+25=7;(2)x2-14x=8;

(3)x2+3x=1;(4)x2+2x+2=8x.

解:(1)方程可转化为(x-5)2=7,开平方得x-5=±7,即x-5=7或x-5=-7.所以x1=5+7,x2=5-7;

(2)两边都加上72得x2-14x+49=8+49