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7-6-4.计数之递推法
7-6-4.计数之递推法
教学目标
教学目标
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法,比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等,这里再集中学习一下计数中其他常见的方法,主要有归纳法、整体法、对应法、递推法.对这些计数方法与技巧要做到灵活运用.
例题精讲
例题精讲
对于某些难以发现其一般情形的计数问题,可以找出其相邻数之间的递归关系,有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数,这种方法称为递推法.
每对小兔子在出生后一个月就长成大兔子,而每对大兔子每个月能生出一对小兔子来．如果一个人在一月份买了一对小兔子,那么十二月份的时候他共有多少对兔子？
【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答
第一个月,有1对小兔子；第二个月,长成大兔子,所以还是1对；第三个月,大兔子生下一对小兔子,所以共有2对；第四个月,刚生下的小兔子长成大兔子,而原来的大兔子又生下一对小兔子,共有3对；第五个月,两对大兔子生下2对小兔子,共有5对；……这个特点的说明每月的大兔子数为上月的兔子数,每月的小兔子数为上月的大兔子数,即上上月的兔子数,所以每月的兔子数为上月的兔子数与上上月的兔子数相加.依次类推可以列出下表:
经过月数:123456789101112
兔子对数：112358--13--21--34--55--89—144,所以十二月份的时候总共有144对兔子．
【答案】
树木生长的过程中,新生的枝条往往需要一段“休息”时间供自身生长,而后才能萌发新枝.一棵树苗在一年后长出一条新枝,第二年新枝“休息”,老枝依旧萌发新枝；此后,老枝与“休息”过一年的枝同时萌发,当年生的新枝则依次“休息”.这在生物学上称为“鲁德维格定律”.那么十年后这棵树上有多少条树枝？
【考点】计数之递推法【难度】3星【题型】解答
一株树木各个年份的枝桠数,构成斐波那契数列:1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……所以十年后树上有89条树枝.
【答案】
一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或两级,要登上第10级,共有多少种不同走法？
【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答
登1级??????????2级??????3级????4级????????10级
1种方法??????2种??????3种????5种???????????？
我们观察每级的种数，发现这么一个规律：从第三个数开始，每个数是前面两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是89.其实这也是加法的运用：假如我们把这个人开始登楼梯的位置看做A0，那么登了1级的位置是在A1，2级在A2...A10级就在A10．到A3的前一步有两个位置；分别是A.和A.．在这里要强调一点，那么A.到A.?既然是一步到了，那么A.、A3之间就是一种选择了；同理A.到A.也是一种选择了．同时我们假设到n级的选择数就是A.．那么从A.到A.就可以分成两类了：第一类：A..A..A.，那么就可以分成两步．有A1×1种，也就是A.?种；(A..A.是一种选择)第二类：A..A..A3.同样道.有A.?．类类相加原理：A..A.＋A2，依次类推A..An-..An-2．
【答案】
【巩固】一楼梯共10级,规定每步只能跨上一级或三级,要登上第10级,共有多少种不同走法？
【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答
登1级??????????2级??????3级????4级???5级?????10级
1种方法??????1种??????2种????3种???4种????????？
我们观察每级的种数,发现这么一个规律：从第三个数开始,每个数是前面相隔的两个数的和；依此规律我们就可以知道了第10级的种数是28.
【答案】
1×2的小长方形(横的竖的都行)覆盖2×10的方格网,共有多少种不同的盖法.
【考点】计数之递推法【难度】4星【题型】解答
如果用的长方形盖的长方形,设种数为,则,,对于,左边可能竖放1个的,也可能横放2个的,前者有种,后者有种,所以,所以根据递推,覆盖的长方形一共有89种.
【答案】
用的小长方形覆盖的方格网,共有多少种不同的盖法？
【考点】计数之递推法【难度】5星【题型】解答
如果用的长方形盖的长方形,设种数为,则,,,对于,左边可能竖放1个的,也可能横放3个的,前者有种
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