1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲）（原卷版）人教版高中数学精讲精练选择性必修一.docx

1.3空间向量及其运算的坐标表示（精讲）

考点一空间向量的坐标表示

【例1-1】（2023·河南）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（????）

A． B． C． D．

【例1-2】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（????）

A．点的坐标为（2，0，2） B．

C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）

【例1-3】．（2023春·高二课时练习）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．

【一隅三反】

1．（2023·北京）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴?轴?轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（????）

A． B．

C． D．

2．（2023山东）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以为基底，则向量的坐标为___，向量的坐标为___，向量的坐标为___.

3．（2023春·高二课时练习）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

??

(1)；

(2)；

(3)；

考点二空间向量的坐标运算

【例2-1】（2023湖北）（多选）已知向量，，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C． D．

【例2-2】（2022·四川省蒲江县蒲江中学）设、，向量，，且，，则（??????????）

A． B． C． D．

【一隅三反】

1．（2023陕西）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．

D．

2．（2022·福建省）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（）

A．B．C．D．与夹角的余弦值为

3．（2023·江苏·高二专题练习）（1）已知向量.

①计算和

②求.

（2）已知向量.

①若，求实数；

②若，求实数.

考点三向量的坐标表示的应用

【例3-1】（2023上海）如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

（1）求的模；

（2）求cos〈，〉的值；

（3）求证：A1B⊥C1M.

【一隅三反】

1．（2023·广东佛山·高二校考阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：

(1)求的模；

(2)求的值；

(3)求证：平面.

2．（2023广西）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出点的坐标；

（2）求线段的长度；

（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．

3．（2023天津）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．

(1)求；

(2)求．

考点四空间向量解决探索问题

【例4】（2022·高二课时练习）在直三棱柱中，，，，．

(1)在上是否存在点，使得？

(2)在上是否存在点，使得平面？

【一隅三反】

1．（2023·安徽滁州）已知．

(1)求；

(2)已知点在直线上，求的值；

(3)当为何值时，与垂直？

2．（2023·江苏·高二专题练习）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：如图，在正方体，中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系．已知点的坐标为，为棱上的动点，为棱上的动点，______，则是否存在点，，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．